9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分

1．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x=a \cos t, y=a \sin t(0 \leqslant t \leqslant \pi)$ 。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{3} \cos y+3 x^{2}+4 y^{2}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和平面 $\displaystyle x+z=a$ 的交线．

2．设 $\displaystyle L$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，计算下列曲线积分．

\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-231.jpg?height=1168&width=1216&top_left_y=801&top_left_x=4379}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.2}
\end{figure}
（1） $\displaystyle \int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ 或 $\displaystyle \int_{L} x^{2} \mathrm{~d} s$ ．
（2）$\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}+2 z\right) \mathrm{d} s$ 或 $\displaystyle \oint_{L}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} s$ 或 $\displaystyle \oint_{L}\left(x^{2}+2 y+z\right) \mathrm{d} s$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+y\right) \mathrm{d} s .(a=1$ ：武汉科技 2012）
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} s$ ．
（6） $\displaystyle \int_{L}\left((x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}\right) \mathrm{d} s$ ．$\displaystyle (a=1$ ：华中科技 2012）
（7） $\displaystyle \int_{L} x y \mathrm{~d} s$ 或 $\displaystyle \int_{L}(x y+y z+z x) \mathrm{d} s$ ．（中山大学 2014，武汉大学 2014，南航 2010，湘潭大学 2013（a＝2））

3．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left[(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\right] \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle x+y+\dot{z}=1$ 的交线．
（2） $\displaystyle \int_{L} y z \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 的交线．
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 的交线．

4．设曲线 $\displaystyle \Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的周长和所围成的面积分别为 $\displaystyle L$ 和 $\displaystyle S$ ，令 $\displaystyle J=\int_{\Gamma}\left(b^{2} x^{2}+2 x y+a^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，则 $\displaystyle J=\frac{S^{2} L}{\pi^{2}}$ ．

\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-233.jpg?height=1209&width=1286&top_left_y=4517&top_left_x=4261}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.6}
\end{figure}

5．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 与 $\displaystyle x=y$ 的交线．（浙江理 $\displaystyle I$ 2007）
（2） $\displaystyle \int_{L}|y| \mathrm{ds}$ ，其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 和平面 $\displaystyle x=y$ 的交线．

6．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ．其中 $\displaystyle C$ 为 $\displaystyle (0,0),(2,0),(0,1)$ 为顶点的三角形．

7．证明： $\displaystyle 5 \mathrm{e}^{-\frac{9}{2}} \leqslant \int_{C} \mathrm{e}^{-\sqrt{x^{3} y}} \mathrm{~d} s \leqslant 5$ ，其中 $\displaystyle C$ 为直线 $\displaystyle 3 x+4 y-12=0$ 介于两坐标轴之间的线段．

8．计算下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geqslant 0$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 截下的部分．
（4） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 的内部．
（5） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} S$ 或 $\displaystyle \iint_{S}(x+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=2 a z(a>0)$ 被曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截取的有限部分．
（6） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ 的内部．

9．设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}\right) \mathrm{d} S$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$.
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S(a=1$ ：吉林大学 2006）
（4） $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z)^{3} \mathrm{~d} S .(a=1$ ：吉林大学 2007）
（6） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+x^{7} y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} S .(a=1$ ：中科大 2008）
（7） $\displaystyle \iint_{S}\left(6 x^{2}+4 y x^{2}+z\right) \mathrm{d} S .(a=1$ ：湖南大学 2011）

10．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(2 x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},(z \geqslant 0)$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ 其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle z=0$ 所围下半球面的边界曲面。
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z^{3} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限的部分．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \mathrm{d} S, \beta>-1$ ，用 $\displaystyle \Gamma(s)$ 函数表示之，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．

11．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 的边界曲面。
（2） $\displaystyle \iint_{S}(z+y)^{2} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{z^{2}+y^{2}} \leqslant x \leqslant 2$ 的边界曲面．

12．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $\displaystyle x O y$ 面上方的部分。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上方的抛物面 $\displaystyle z=2-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．

13．求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=4(0 \leqslant y \leqslant 1)$ ．

14．计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 所截取的部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a x(a>0)$ 截下的一块曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=y$ 截下的一块曲面．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}+x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle z^{2}=k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 含在柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x$ 内部的部分．

16．求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}|x y z| \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分．

17．求下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}(z \geqslant 0)$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R x$ 内部的部分．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z\left(y^{2} x^{2}+x^{2} z^{2}+y^{2} z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。重庆大学 2010）

18．求下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}, z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \\ 0, z<\sqrt{x^{2}+y^{2}},\end{array}\right\}$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 。苏州大学 2015，兰州大学 2010，地质大学 2005，华东师大 2003，北京理工 2005（半径为 $\displaystyle t$ ））
（2） $\displaystyle \iint_{x+y+z=1} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l}1-x^{2}-y^{2}-z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}>1,\end{array}\right.$

19．求下列第一型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{z}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=h(0<h<a)$ 截得的球冠部分。．
（2） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{(1+x+y)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为四面体 $\displaystyle x+y+z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 的边界曲面．
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{1-z} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=(1-z)^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 。

20．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\sqrt{x^{2}+(y-h)^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R \neq h, h>0)$ ．
（2）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心，$\displaystyle a(a>0)$ 为半径的上半球面．
（3）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+2)^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是以原点为中心， 2 为半径的上半球面被 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截下的部分．

21．证明：对连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，有 $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} f(z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ．

22．证明 Possion 公式： $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^{1} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数．

23．设 $\displaystyle B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $\displaystyle M_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为心，$\displaystyle r$ 为半径的球，$\displaystyle \partial B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $\displaystyle M_{0}$ 为心，$\displaystyle r$ 为半径的球面，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 上连续，证明：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \iiint_{B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 。

24．求第一型曲面积分．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到椭球面 $\displaystyle \sum: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a>0, b>0, c>0)$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{f(x, y, z)}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle \Sigma: \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．
（3）设 $\displaystyle \rho(x, y, z)$ 表示从原点 $\displaystyle O(0,0,0)$ 到上半椭球面 $\displaystyle S: z=\sqrt{2\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的切平面的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ．

25．求第一型曲面积分．
（1）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \rho \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, a, b, c>0, \rho$ 为原点到 $\displaystyle S$的切平面的距离．
（2）求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\rho^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, A$ 是 $\displaystyle \Sigma$ 内部一点，它与原点的距离为 $\displaystyle q, 0<q<1, \rho$ 为点 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle \Sigma$ 上的点之间的距离．