📝 中国矿业大学(北京) 2026年数学分析真题

1．极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \neq A$ 的语言是
A．
B．
C．
D．

2．函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x \geq 0 \\ x-2, x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续情况是
A．不连续
B．左连续但不右连续
C．右连续但不左连续
D．左连续且右连续

3．变上限积分 $\int_{0}^{x} t e^{t} d t=$
A．
B．
C．
D．

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是
A．
B．
C．
D．

5．设 $C$ 是椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，取逆时针方向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}=$
A． 0
B．$\pi$
C． $2 \pi$
D．$-\pi$

1．函数 $\displaystyle f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}}$ 的极大值是 $\_\_\_\_$ ．

2．极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(n^{2}+1\right)^{\frac{1}{n}}-1\right] \sin \frac{n \pi}{2}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．若函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续函数，若 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的的 Fourier 级数展开式为
$\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=$ $\_\_\_\_$。

4． $\ln \left(1-x+x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式为 $\_\_\_\_$。

1．设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=1$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．

2．求曲面积分 $\oiint_{\Sigma} y^{2} z d x d y+x z d y d z+x^{2} y d z d x$ ，其中 $\Sigma$ 为由 $x^{2}+y^{2}=1, z=x^{2}+y^{2}$ 与 $z=0$ 所围成的封闭曲面，方向取外侧．

3．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，求 $f_{x y}(0,0), f_{y x}(0,0)$ ．

1．（15 分）证明： $\operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{c}-1, x<0 \\ 0, x=0 \\ 1, x>0\end{array}\right.$ 在 $[-1,1]$ 上黎曼可积，但在 $[-1,1]$ 上没有原函数．

2．（15分）已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值．

3．（15 分）判断 $\alpha$ 取何值时，函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收玫．

4．（15 分）（1）（5 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 满足对任意 $n \geq 1$ ，都有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$与 $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均收玫，判断 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是否收玫；
（2）（10 分）对于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ，根据 $p$ 的值讨论该级数何时条件收敛？何时绝对收敛？

四．求曲面积分

$$
\iint_{\Sigma} \frac{x^{2} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}}
$$

其中 $\displaystyle \Sigma: 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=4, z \geq 0$ ．