📝 大连理工大学 2024年数学分析真题

1．用数学语言描述 $\left\{a_{n}\right\}$ 不是基本列．

2．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}=0$ ，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．此结论是否成立？为什么？

3．设 $0<a<b$ ，证明不等式 $\displaystyle \frac{2 a}{a^{2}+b^{2}}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}$ ．

4．已知 $a_{n}=\sqrt[n]{2022^{n}+(-2023)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 和 $\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

5．$x \rightarrow x_{0}$ 时，$\alpha=o(1)$ ．证明：$\displaystyle (1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}-e=-\frac{e}{2} \alpha+o(\alpha), x \rightarrow x_{0}$ ．

6．证明： $\sin \left(x^{2}\right)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续．

7．$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微，$\displaystyle h(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}, & x \neq y ; \\ f^{\prime}(x), & x=y .\end{array}\right.$ 证明：$h(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上连续．

8．$a, b$ 为正常数，求由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 x+18 y$ 所围成的面积．

9．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$ ．

10．证明：含参量 $u$ 的反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u x^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $u \in(0,+\infty)$ 上不一致收敛．

1．已知 $y=f(x, t)$ ，其中 $t$ 是由 $F(x, y, t)=0$ 确定的关于 $x, y$ 的隐函数，$f$ 和 $F$ 有连续的一阶偏导数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

2．设 $C$ 是 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 与 $x=y$ 的交线，方向由 $\displaystyle \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 到 $\displaystyle \left(-\frac{a}{\sqrt{2}},-\frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ ．计算

$$
\left(z^{3}+3 x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+3 y^{2} z\right) \mathrm{d} y+\left(y^{3}+3 z^{2} x\right) \mathrm{d} z
$$

3．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-z=2 ; \\ z^{2}=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.$ 上距离原点最近的点．

1．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{6} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 收敛．

2．$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上存在三阶连续导数，$f(0)=f(1)=f(2)=0$ ．证明：对任意的 $x \in(0,2)$ ，存在 $c \in(0,2)$ ，使得

$$
f(x)=\frac{1}{6} x(x-1)(x-2) f^{\prime \prime \prime}(c)
$$

3．$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，求证：

$$
\max _{x \in[a, b]} f(x) \leq \frac{1}{b-a}\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x
$$

4．证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} x\right)}{n!}$ 在 $\mathbb{R}$ 上有任意阶导数，但不能在 $\mathbb{R}$ 上展开为幂级数．

5．设 $\displaystyle a_{n} \neq 0, n=1,2, \cdots, \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(1-\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\right)=p>1$ ，证明：$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛．