📝 江南大学 2024年数学分析真题

1．计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{-}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．求 $\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+v^{2}\right)} d x d y=$ $\_\_\_\_$ ，$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$

3．$f(x)=\left(e^{x}-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

4．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ 条件收玫，求 $p$ 取值范围 $\_\_\_\_$ ．

5． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x+2 \sin x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

1．任何数列都有单调子列．

2．若 $\int_{1}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，且 $f(x) \geq 0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$

3．若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 有界

4．若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛

5．若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=1$ ，则存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时，$\displaystyle f(x)<\frac{3}{2}$

1．求二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极值．

2．$y=\arctan x$ ，求 $y^{(n)}(0)$ 的值．

3．求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}-n+1}{2^{n}}$ 的和．

4．计算曲线积分 $\int_{L} \sin 2 x d x+2\left(x^{2}-1\right) y d y$ ，其中 $L$ 为 $y=\sin x$ 上从点 $(0,0)$ 到
$(\pi, 0)$ 的一段。

5．求三重积分 $\iiint(x+z) d x d y d z$ ，其中 $V$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面
$z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围的区域．

1．若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-x]$ 存在，证 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．（10分）

2．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 5} \frac{f(x)}{x-1}=2$ 。
（1）存在 $\alpha \in(0,1)$ ，使得 $f(\alpha)=0$ ；
（2）存在 $\beta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\beta)=f^{\prime}(\beta)$ ．

3．设 $f(x)$ 可导且 $\displaystyle \int_{0}^{1} t f(2 x-t) d t=\frac{1}{2} \arctan x^{2}, f(1)=\frac{1}{2}$
（1） 求 $\int_{1}^{2} f(x) d x$ ；
（2）证明：至少存在一点 $\xi \in(1,2)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．

4．设 $a_{n}>0, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收敛；
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{S_{n}}}$ 收玫的充分必要条件为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
$(\pi, 0)$ 的一段。

5．求三重积分 $\iiint_{1}(x+z) d x d y d z$ ，其中 $V$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围的区域．