📝 陕西师范大学 2025年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．

2．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}[\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x]$ ．

3．设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，求积分 $\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．

4．计算 $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(a+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(a>0), S$ 取半球面 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．

5．计算 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $L$ 是椭圆 $2 x^{2}+3 y^{2}=1$ ，方向沿逆时针方向．

6．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$ 的和．

7．设 $f(x, y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$ ．
（1）讨论 $f(x, y)$ 在原点处沿任何方向的导数是否均存在？
（2）讨论 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 是否存在？若存在，求出其值．
（3）讨论 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微？

8．求方程 $2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}+8 z y-z+8=0$ 所确定的隐函数 $z=z(x, y)$ 的极值．

9．设 $u_{n} \neq 0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1$ ．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(=1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 是否绝对收敛．

10．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，当 $x$ 个 $+\infty$ 时，$y=2 x$ 是 $f(x)$ 的渐近线．证明：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．

11．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{6}\right) \mathrm{d} x \geq f\left(\frac{1}{7}\right)$ ．

12．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调减，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：若 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，则反常积分 $\int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。

13．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{\sqrt{n^{3}+n}}$ ．
（1）证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．
（2）证明：$\displaystyle F\left(\frac{\pi}{2}\right)<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其中 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．

14．证明 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-p x} \cos x y \mathrm{~d} x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，其中 $p>0$ ．

15．解答如下问题：
（1）计算积分 $\displaystyle A=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left|x y-\frac{1}{4}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2）设 $z=f(x, y)$ 在区域 $D:[0,1] \times[0,1]$ 上连续，且满足条件

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 \text { 和 } \iint_{D} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1 \text {. }
$$