曲线 $y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}$ 的拐点是（）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少， $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n=1,2, \cdots)$ 无界，则幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域为（ ）
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f(x)\gt 0, f^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z=f(x) \ln f(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是（ ）
设 $I=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系为（ ）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再交换 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记 $\boldsymbol{P}_{1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{P}_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}=(\quad)$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)$ 是4阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵。若 $(1,0,1,0)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系，则 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系可为（ ）
设 $F_{1}(x)$ 与 $F_{2}(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_{1}(x)$ 与 $f_{2}(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是（ ）
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $E(X)$ 与 $E(Y)$ 存在，记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$ ，则 $E(U V)=()$ $(\mathrm{B}) E(X) \cdot E(Y)$ ． $($ C $) E(U) \cdot E(Y)$ ． $(\mathrm{D}) E(X) \cdot E(V)$ ．
曲线 $y=\displaystyle\int_{0}^{x} \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$ $\_\_\_\_$。
设函数 $F(x, y)=\displaystyle\int_{0}^{x y} \displaystyle\frac{\sin t}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}\right|_{\substack{x=0 \\ y=2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $L$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $z=x+y$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\oint_{L} x z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+\displaystyle\frac{y^{2}}{2} \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
若二次曲面的方程 $x^{2}+3 y^{2}+z^{2}+2 a x y+2 x z+2 y z=4$ 经正交变换化为 $y_{1}^{2}+4 z_{1}^{2}=4$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \mu ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^{2}\right)=$
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left[\displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\displaystyle\frac{1}{e^{x}-1}}$ ．
设函数 $z=f(x y, y g(x))$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导，且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$ ．求 $\left.\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}$ ．
（I）证明：对任意的正整数 $n$ ，都有 $\displaystyle\frac{1}{n+1}\lt\ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)\lt\displaystyle\frac{1}{n}$ 成立； （II）设 $a_{n}=1+\displaystyle\frac{1}{2}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
已知函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1, y)=0, f(x, 1)=0, \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=a$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_{D} x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{2}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(3,4, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示。 （I）求 $a$ 的值； （II）将 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，且
$$
A\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) .
$$
（ I ）求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值与特征向量；
（II）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
| $X$ | 0 | 1 |
| $P$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{2}{3}$ |
| $Y$ | -1 | 0 | 1 |
| $P$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ |
且 $P\left\{X^{2}=Y^{2}\right\}=1$ ． （I）求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布； （II）求 $Z=X Y$ 的概率分布； （III）求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 。
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自正态总体 $N\left(\mu_{0}, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\mu_{0}$ 已知，$\sigma^{2}\gt 0$ 未知， $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ 分别表示样本均值和样本方差。 （I）求参数 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计 $\widehat{\sigma^{2}}$ ； （II）计算 $E\left(\widehat{\sigma^{2}}\right)$ 和 $D\left(\widehat{\sigma^{2}}\right)$ 。