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数列极限的定义（ε-N语言）

考研数学一强化题库 · 共 38 道习题 · 第2页/共2页

### 第36题设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{x^{2}+y^{2}}=0$ ，则 $2 f_{x}^{\prime}(0,0)+ f_{y}^{\prime}(0,0)=$ $\_\_\_\_$。

### 第5题 \quad $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cot ^{3} x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第52题已知级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right)(p>0)$ 条件收敛，则 $p$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．建设谷题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 뚤혀

### 第58题微分方程 $y^{\prime \prime}+y=2 \mathrm{e}^{x}+4 \sin x$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．

### 第6题已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^{4}}=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{f(x)}=$ $\_\_\_\_$

### 第63题设函数 $\displaystyle \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\left(2+\sin \frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 且函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则函数 $f(\varphi(x))$ 在 $x=0$ 处（A）不连续．（B）连续但不可导．（C）可导且导数为 0 ．（D）可导且导数不为 0 ．

### 第66题下述命题正确的是（A）设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均在 $x_{0}$ 处不连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $x_{0}$ 处必不连续．（B）设 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，$f\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=0$ ．（C）设在 $x=x_{0}$ 的去心左邻域内 $f(x)

### 第67题 x=0$ 是 $f(x)=\frac{2}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}$ 的（A）跳跃间断点．（B）可去间断点．（C）无穷间断点．（D）振荡间断点．$

### 第68题已知 $x=0$ 是函数 $\displaystyle f(x)=\frac{a x-\ln (1+x)}{x+b \sin x}$ 的可去间断点，则常数 $a, b$ 的取值范围是（A）$a=1, b$ 为任意实数．（B）$a \neq 1, b$ 为任意实数．（C）$b=-1, a$ 为任意实数．（D）$b \neq-1, a$ 为任意实数．

### 第69题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\arctan \frac{x+1}{x-1}+a, & x>1, \\ c, & x=1 \\ \arctan \frac{x+1}{x-1}+b, & x<1\end{array}\right.$ ，可导，则 $f^{\prime}(1)=$ （A）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C） 1 ．（D）与 $a, b$ 的值有关．

### 第7题 \quad $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot\left|1-2+3-\cdots+(-1)^{n+1} n\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第72题下列 4 个命题（1）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．（2）设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)$ 存在，则 $f(x)=(x-a) \varphi(x)$ 在 $x= a$ 处必可导．（3）设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)$ 存在，则 $f(x)=|x-a| \varphi(x)$ 在 $x= a$ 处必可导．（4）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．正确的命题为（A）（1）与（2）．（B）（3）与（4）．（C）（1）与（3）．（D）（2）与（4）．

### 第73题设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2+(2 x)^{n}+x^{2 n}}, x \in(0,+\infty)$ ，则 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内不可导的点的个数为（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ．建设器题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

### 第74题设 $f(x), g(x)$ 定义在 $(-1,1)$ 上，且都在 $x=0$ 处连续，若 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)}{x}, & x \neq 0, \\ 2, & x=0,\end{array}\right.$ 则（A）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ ．（B）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=1$ ．（C）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=2$ ．（D）$g(0)=1$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ ．

### 第79题设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[f(x+2)+\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}{1-\cos x}=4$ ，则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的（A）不可导点．（B）驻点且是极大值点．（C）驻点且是极小值点．（D）可导的点但不是驻点．

### 第82题设 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{x}=-1$ ，则（A）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值．（B）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值．（C）$(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．（D）$x=0$ 是驻点，但 $f(0)$ 不是极值．

### 第83题设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}}\left[1+|f(x)|+\mathrm{e}^{\frac{-\left(x-x_{0}\right)^{4}}{\left[f(x)-\left(x-x_{0}\right)^{2}\right]^{2}}}\right]=1$ ，则（A）$x_{0}$ 不是 $f(x)$ 的驻点．（B）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的驻点，但不是极值点．（C）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极大值点．（D）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点．伻佔

### 第85题设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\sqrt[n]{n}, n=1,2, \cdots$ ，则下列命题中，正确的是（A）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 能取到最小值，但取不到最大值．（B）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 能取到最大值，但取不到最小值．（C）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既能取到最大值，又能取到最小值．（D）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既不能取到最大值，又不能取到最小值．

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