7.4 隐函数的微分

1．证明由下列方程在原点的邻域内唯一确定可导的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ ，并求导数．
（1）$\displaystyle x+\frac{1}{2} y^{2}+\frac{1}{2} z+\sin z=0$ ，并求 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的泰勒公式，展开到二阶．
（2） $\displaystyle 2 y-1+\cos y-x \mathrm{e}^{y}=0$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0), ~ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ 。
（3）$\displaystyle x^{3}+y+1=\cos (x y)$ ，并求 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ 的值．
（4） $\displaystyle 3 y-3 x-\sin y=0$ ．

2．证明或讨论下列各题．
（1）证明 $\displaystyle F(x, y)=2-\sin x+y^{3} \mathrm{e}^{-y}$ 在全平面有唯一解 $\displaystyle y=y(x)$ ，且 $\displaystyle y(x)$ 连续可导．
（2）设 $\displaystyle F(x, y)=x^{2} y^{3}+|x| y+y-5$ ．证 明：$\displaystyle F(x, y)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上确 定 唯 一 的 隐 函 数 $\displaystyle y=f(x)$ ，并求 $\displaystyle f(x)$ 的极值点．

3．讨论下列各题．
（1）方程 $\displaystyle y^{2}-x^{2}\left(1-x^{2}\right)=0$ 在哪些点的邻域内可唯一确定连续可导的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ ．
（2）已知方程 $\displaystyle x^{2}+y-\cos (x y)=0$ ．
（1）研究上述方程并说明它在什么时候可以在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ，且 $\displaystyle y(0)=1$ ．
（2）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的可微性．
（3）研究函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 附近的单调性．
（4）试问上述方程在点 $\displaystyle (0,1)$ 的充分小邻域内可否确定函数 $\displaystyle x=x(y), x(1)=0$ ？并说明理由．

4．求由下列方程确定的隐函数的导数．
（1）设 $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}+x y-\mathrm{e}=0$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 。
（3）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x y}=2^{x} 3^{y}$ 确定的隐函数，计算 $\displaystyle (y-\ln 2) y^{\prime \prime}-2\left(y^{\prime}\right)^{2}$ 。重庆大学 2006）

5．求由下列方程确定的隐函数的导数．
（1）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是可微函数，且满足 $\displaystyle y=-y \mathrm{e}^{x}+2 \mathrm{e}^{y} \sin x-7 x$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ 。
（2）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle 2 x-\int_{1}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=x y$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 及 $\displaystyle y^{\prime}(0),\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}$ 。
（3）求由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}+\sin x y-\mathrm{e}^{y}-x y=1-\mathrm{e}$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 的导数，并计算 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ ．

6．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1） $\displaystyle \mathrm{e}^{-x y}-2 x+\mathrm{e}^{z}=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。
（3）$\displaystyle \frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。

7．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1）方程 $\displaystyle z^{2} x-z^{3} y+y-1=0$ 在 $\displaystyle (1,2,1)$ 附近确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle z_{x x}(1,2)$ ．
（2）方程 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x y-z=7$ 在 $\displaystyle (1,-2,1)$ 附近确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，并求 $\displaystyle z_{x y}(1,-2)$ 的值．

8．求由下列方程所确定的隐函数的导数．
（1）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+h^{2}(z)=1$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle h(z)$ 具有所需性质，求 $\displaystyle z_{x y}$ ．
（2）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\mathrm{e}^{h(z)}=1$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle h(z)$ 具有所需性质，求 $\displaystyle z_{x y}$ 。
（3）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+y+z=x y z$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z_{x x}, z_{x y}, z_{y y}$ ．
（4）$\displaystyle f(x, x+y, x+y+z)=0$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x x}$ 。

9．求由下列方程所确定的隐函数的微分．
（1）设函数 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 有连续偏导数，且 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x \mathrm{e}^{x}-y \mathrm{e}^{y}=z \mathrm{e}^{z}$ 所确定，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle u=f(x, z)$ ，而 $\displaystyle z(x, y)$ 由 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 所确定，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，又设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle f\left(x y^{2}, x+y\right)=0$ 所确定的隐函数．（1）求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ；（2）当 $\displaystyle f(u, v)=u e^{v}+v$ 时，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(u, v, w)$ 可微，$\displaystyle f_{2}^{\prime}-f_{3}^{\prime} \neq 0$ ，方程 $\displaystyle f(x-y, y-z, z-x)=0$ 确定函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．

10．求下列导数或微分．
（1）设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=f(x)$ 为由方程 $\displaystyle x^{2}-x y+y^{2}=1$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 及 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，其中 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$ 所确定，求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ 。

11．求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f$ 为可微函数，$\displaystyle u=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，并有方程 $\displaystyle 3 x+2 y^{2}+z^{3}=6 x y z$ ，试对以下两种情形分别计算 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $\displaystyle P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程确定了隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ；（2）由方程确定了隐函数 $\displaystyle y=y(z, x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f$ 为可微函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(4)=1, u=f\left(x^{3}+2 y+z^{2}\right), x, y, z$ 满足方程 $\displaystyle (*): 4 x+2 y^{2}+z^{3}=5 x y z$ ．试就满足下述两种情况分别求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $\displaystyle P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程 $\displaystyle (*)$ 确定隐函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ ； （2）由方程 $\displaystyle \left(^{*}\right)$ 确定隐函数 $\displaystyle y=f(x, z)$ ．

12．求由下列方程确定的隐函数的导数或微分．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为由方程 $\displaystyle z=f(x y z, x+y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, \mathrm{~d} z$ 。
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为由方程 $\displaystyle z=f(x, x y)+\varphi(y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．

13．求解下列各题．
（1）方程 $\displaystyle F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0$ 确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(u)$ ，方程 $\displaystyle u=\varphi(u)+\int_{y}^{x} p(t) \mathrm{d} t$ 确定隐函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ ，其中 $\displaystyle f(u), \varphi(u)$ ，可微， $\displaystyle p(t), \varphi^{\prime}(u)$ 连续且 $\displaystyle \varphi^{\prime}(u) \neq 1$ ，求 $\displaystyle p(y) z_{x}+p(x) z_{y}$ 。
（3）设 $\displaystyle G(s, t)$ 是二元连续可微函数，满足 $\displaystyle a G_{s}+b G_{t} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 是由 $\displaystyle G(c x-a z, c y-b z)=0$ 定义的隐函数，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为常数。（1）求 $\displaystyle a z_{x}+b z_{y}$ ；（2）求 $\displaystyle z_{x y}$ 。
（4）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，$\displaystyle u=x+a y, v=x-a y(a \neq 0)$ ，求 $\displaystyle z_{u v}$ 。
（5）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle F(u, v)=0$ ，其中 $\displaystyle u=x+a z, v=y+b z, a, b$ 为常数，$\displaystyle F$ 可微，且 $\displaystyle a F_{u}+b F_{v} \neq 0$ ，求积分 $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<1} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\left(a z_{x}+b z_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。

14．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上无穷次可微，且满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．证明：（1）存在 $\displaystyle \delta>0$ 和定义在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 上的可微函数 $\displaystyle \varphi(t)$ ，使得 $\displaystyle f(\varphi(t))=\sin t$ ；（2）求 $\displaystyle \varphi(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 的二阶泰勒公式．

15．求由下列方程组确定的隐函数组的导数或微分．
（1）设方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=u+v \\ x \sin v=y \sin u\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}, \mathrm{~d} v$ ．
（2）设方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+u+v=0 \\ x^{2}+y^{2}+u \cos v=0\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ ．
（3）求由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^{3}+y^{3}-z^{3}=10\end{array}\right.$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x), z=z(x)$ 在点 $\displaystyle P(1,1,-2)$ 处的一阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．

16．求由下列方程组确定的隐函数组的导数．
（1）设函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y) \\ v=v(x, y)\end{array}\right.$ 满足方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x u-y v=0, \\ y u+x v=1 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle u_{x}, v_{y}$ ．
（2）设 $\displaystyle x=x(y, u), v=v(y, u)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y)+x v \\ y=g(x, v)+y u\end{array}\right.$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle \left(v+\frac{\partial f}{\partial x}\right) \frac{\partial g}{\partial v} \neq x \frac{\partial g}{\partial x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial y}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(u x, v+y), \\ v=g\left(u-x, v^{2} y\right) .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle u_{x}, v_{x}$ 。河北工大 2002，上海理工 2009，青岛大学 2014）

17．求由下列方程组确定的隐函数组的导数或微分．
（1）设 $\displaystyle y(x), z(x)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f(x, y, z)=0 \\ z=g(x, y)\end{array}\right.$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle y^{\prime}(x), z^{\prime}(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle x=x(u, v)$ 满足方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}F(x, f(y, u))=0, \\ G(y, g(x, v))=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle x_{u}, x_{v}$ 。其中 $\displaystyle F, G, f, g$ 均为连续可微函数，且 $\displaystyle F_{1} G_{1} \neq F_{2} G_{2}, F_{1}$ 为 $\displaystyle F$ 对其第一个变量的偏导数，$\displaystyle F_{2}, G_{1}, G_{2}$ 仿此．
（3）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y, z, t) \\ g(y, z, t)=0 \\ h(z, t)=0\end{array}\right.$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ 或 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ ．

18．证明下列各题．
（1）证明：方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+u^{2}+v^{2}=9 \\ x^{2}+u^{2}-3 x=0\end{array}(u, v \neq 0)\right.$ 能确定唯一的隐函数组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x), \\ v=g(y),\end{array}\right.$ 并求其导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=z x+y f(z)+g(z) \\ x+y f^{\prime}(z)+g^{\prime}(z)=0\end{array}\right.$ 所确定的二阶连续可微隐函数，其中 $\displaystyle f, g$ 有二阶连续的导数，证明：$\displaystyle u_{x x} \cdot u_{y y}-u_{x y}^{2}=0$ ．

19．设函数 $\displaystyle f(x): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 有连续的导数，且 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，证明：坐标变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ v=x f(x)-y\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$附近是局部可逆的，且其逆具有形式 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=g(u), \\ y=u g(u)-v .\end{array}\right.$