📝 中国矿业大学徐州 2026年高等代数真题
第0题
1．多项式 $x^{3}+4 x^{2}+7 x+12$ 的有理根为 $\_\_\_\_$
第0题
2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$
第0题
3．已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为4维列向量组，且满足 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{4}$ ， $\beta=\alpha_{1}+\alpha_{3}+3 \alpha_{4}$ ，则非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的通解为 $\_\_\_\_$
第0题
4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\displaystyle \alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$
第0题
5．若 $A$ 是 5 阶实可逆矩阵，则 $A$ 与 $-5 A$ $\_\_\_\_$ （填＂可能＂或＂不可能＂）合同．
第0题
6．设 $n$ 阶矩阵 $A=-E_{11}-2 E_{22}-3 E_{33}-\cdots-n E_{n n}$ ，则与 $A$ 可交换的矩阵所组成的线性空间的维数为 $\_\_\_\_$
第0题
7．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+\lambda x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 是正定的，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$
第0题
8．定义线性变换 $\sigma\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{3}, x_{1}-x_{3}\right)$ ，则 $\sigma$ 的秩为 $\_\_\_\_$
第0题
9．设 $A$ 是一个秩为 3 的四阶矩阵，$A$ 的对角元的代数余子式分别为 $1,-2,3,-4$ ，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$
第0题
10．已知 $A$ 是奇数阶正交矩阵，且 $|A|=1$ ，则 1 $\_\_\_\_$ （填＂一定＂或＂不一定＂）是 $A$ 的特征值。
第0题
七、（15 分）
设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的正交变换，记
$$
V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的正交变换，记
$$
V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
第0题
三、（10 分）
已知 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维实列向量．
（1）（5 分）证明：齐次线性方程组 $\displaystyle A^{T} A X=0$ 与 $\displaystyle A X=0$ 同解；
（2）（5 分）证明：方程组 $\displaystyle A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必然有解．
已知 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维实列向量．
（1）（5 分）证明：齐次线性方程组 $\displaystyle A^{T} A X=0$ 与 $\displaystyle A X=0$ 同解；
（2）（5 分）证明：方程组 $\displaystyle A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必然有解．
第0题
二、（10分）
设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{s}(x), g_{1}(x), g_{2}(x), \cdots, g_{t}(x)$ 均为多项式，证明：$\displaystyle f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{s}(x)$ 与 $\displaystyle g_{1}(x) g_{2}(x) \cdots g_{t}(x)$ 互素的充要条件是对任意 $\displaystyle 1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq t$ 都有 $\displaystyle f_{i}(x)$ 与 $\displaystyle g_{j}(x)$ 互素．
设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{s}(x), g_{1}(x), g_{2}(x), \cdots, g_{t}(x)$ 均为多项式，证明：$\displaystyle f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{s}(x)$ 与 $\displaystyle g_{1}(x) g_{2}(x) \cdots g_{t}(x)$ 互素的充要条件是对任意 $\displaystyle 1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq t$ 都有 $\displaystyle f_{i}(x)$ 与 $\displaystyle g_{j}(x)$ 互素．
第0题
五、（15 分）
设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵，证明：$\displaystyle A-B^{2}$ 可逆．
设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵，证明：$\displaystyle A-B^{2}$ 可逆．
第0题
八、（20分）
已知 $A$ 是 $\displaystyle n(n \geq 3)$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且 $\displaystyle A^{*}=A^{2}-2 A-E,|A|=-2$ ．
（1）（5 分）证明：$A$ 可相似对角化；
（2）（12 分）求 $\displaystyle n=3,4,5,6$ 时，$A$ 的相似对角形；
（3）（3分）求 $A$ 的迹（用 $n$ 表示）。
已知 $A$ 是 $\displaystyle n(n \geq 3)$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且 $\displaystyle A^{*}=A^{2}-2 A-E,|A|=-2$ ．
（1）（5 分）证明：$A$ 可相似对角化；
（2）（12 分）求 $\displaystyle n=3,4,5,6$ 时，$A$ 的相似对角形；
（3）（3分）求 $A$ 的迹（用 $n$ 表示）。
第0题
六、（15 分）
设 $\displaystyle A, B, C, D$ 是数域 $P$ 上两两可交换的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，记
$$
V=\left\{X \in P^{n} \mid A B X=0\right\}, \quad V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}, \quad V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\} .
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
设 $\displaystyle A, B, C, D$ 是数域 $P$ 上两两可交换的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，记
$$
V=\left\{X \in P^{n} \mid A B X=0\right\}, \quad V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}, \quad V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\} .
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
第0题
四、（15 分）
设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 可逆，证明：$\displaystyle A, B$ 的秩相同．
设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 可逆，证明：$\displaystyle A, B$ 的秩相同．