📝 华东师范大学 2020年数学分析真题

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A \in \mathbb{R}$ 的充要条件是：对任何正整数 $k, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时有

$$
\left|a_{n}-A\right|<\frac{k}{k^{2}+1}
$$

2．若 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域商有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．

3．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 存在原函数．

4．若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续且 $\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恒等于 0 ．

5．若级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}$ 均收敛，则 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} b_{n}$ 也收敛。

6．设 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的一个极小值点，则一定存在 $\delta>0$ 使 $f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 上单调递减，在 $\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 上单调递增．

7.

$$
\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x
$$

8.

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)-\tan (\tan x)}{x^{3}}
$$

9．求和

$$
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}(2 n+1)}
$$

10．求

$$
\iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\sqrt{z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\Sigma$ 为抛物面 $z=\left(x^{2}+y^{2}\right) / 2$ 在平面 $z=0$ 与 $z=2$ 之间的部分，方向取下侧．

11．已知 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=A$ ，求

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n+1}}{n+1}+\cdots+\frac{a_{2 n}}{2 n}
$$

12．设 $a_{n}>0(n=1,2, \ldots), S_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n}$ ，证明：$\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 相同的玫散性．

13．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 有界且每一项非负，证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=\sup _{n \geq 1} a_{n}
$$

14．设

$$
Q(x)=\left\{\begin{array}{ll}
q, & x=\frac{p}{q} \in(0,1) \quad \text { 这里 } p, q \text { 是互素的正整数, } \\
0, & (0,1) \text { 上的其它点 }
\end{array},\right.
$$

证明：对任意 $x_{0} \in(0,1)$ 以及任意 $\delta>0$ ，满足 $U\left(x_{0} ; \delta\right) \subset(0,1) . Q(x)$ 在 $U\left(x_{0} ; \delta\right)$ 上无界．

15．$u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，且 $u_{n}(x) \geq 0, n=1,2 \ldots$ ，设 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上收玫。记 $f(x)=$
$\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ ．证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最小值．

16．设 $f(x)$ 是定义在 $[0, \infty)$ 的非负函数且可导，满足 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫。证明：$\exists x_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f^{2}\left(x_{n}\right)+f^{\prime}\left(x_{n}\right)^{2}\right]=0
$$