📝 华中师范大学 2020年数学分析真题

1．求极限

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}} \ln \frac{2+x}{2-x}\right)
$$

2．求函数

$$
f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x}
$$

在 $x=0$ 处的泰勒展开式．

3．将函数 $f(x)=\pi-x, x \in[0, \pi)$ 展开成正弦级数．

4．求曲线积分

$$
\int_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z
$$

其中 $\Gamma$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=4$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，其方向为从 $z$ 轴正方向向下看的逆时针方向。

5．计算

$$
\iint_{D} \frac{9 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $D$ 为第一象限内四条曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $y^{2}=3 x$ 围成的有界闭区域．

1．$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续；

2．$f(x)$ 在 $(0, a)$ 上非一致连续．

1．证明：$g(\alpha)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛；

2．已知 $\displaystyle g(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，求 $g(\alpha)$ ．

1．用全微分的定义证明：对任意 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in(a, b) \times(c, d), F(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微；

2．给定 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in(a, b) \times(c, d)$ ，求 $z=F(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}, F\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ 处的切平面方程．

七．（ 20 分）令

$$
g(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos (2 \alpha x) \mathrm{d} x
$$

三．（15 分）若函数

$$
f(x)=\frac{x+3}{x} \cos \left(\frac{1}{x}\right), a>0
$$

为常数，证明：

二．（15 分）证明：若 $\displaystyle p_{k}>0, k=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$（ $a$ 为实常数）．证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_{1} a_{n}+p_{2} a_{n-1}+\cdots+p_{n} a_{1}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}=a .
$$

五．（10 分）证明：

$$
\frac{1}{x(1+x)}>\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]^{2}, x>0
$$

八．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 分别为闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 及 $\displaystyle [c, d]$ 上的连续函数，定义

$$
F(x, y)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \cdot \int_{c}^{y} g(s) \mathrm{d} s, a \leq x \leq b, c \leq y \leq d .
$$

六．（15 分）讨论 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 的收玫性，其中 $\displaystyle \alpha$ 为实常数．

四．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，如果存在 $\displaystyle [a, b]$ 的一个分割

$$
T=\left\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b\right\}
$$

及常数 $\displaystyle c_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，使得 $\displaystyle f(x)=c_{i}, x \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, f(a)=c_{1}$ ，则称 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$上的阶梯函数．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：对任意 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle f(x)$ ，使得

$$
\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon
$$