📝 华中师范大学 2021年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} a^{\frac{i}{n}} \sin \left(a^{\frac{2 i+1}{2 n}}\right)$ ，其中 $a>1$ ．

2．求极限

$$
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

其中 $f(x)$ 有连续的导函数，且 $f(0)=0$ ．

3．求第二型曲面积分

$$
I=\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ ，取外侧．

1．若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{\sqrt{n}}$ 收敛．

2．若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界且连续，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．

1．求 $f(x)$ 的傅里叶级数展开式；

2．求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．

1．函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛；

2．函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛；

3． $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$.

七．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4} x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ ．

三．用柯西准则判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ 的敛散性，其中 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}$ 。

九．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调递增，证明

$$
\lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} f\left(0^{+}\right)
$$

五．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ，证明：存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subseteq[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(x)>0, x \in[\alpha, \beta]$ ．

八．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n^{\alpha} x e^{-n x}$ ，当 $\displaystyle \alpha$ 取何值时，有

六．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递减且 $\displaystyle f(x)>0$ ，证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 具有相同的收敛性．

四．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上可导，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq|f(x)|$ ，若存在 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ ，满足 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in \mathbb{R}$ ．