📝 华中师范大学 2022年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{1+x^{2}}}{\left(\cos x-e^{x^{2}}\right) \sin x^{2}}$ ．

2．设区域 $D$ 由抛物线 $y^{2}=p x, y^{2}=q x, x^{2}=a y, x^{2}=b y(0<p<q, 0<a<b)$ 所围成，计算积分

$$
\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

3．计算

$$
\int_{L}\left(e^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(e^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y
$$

其中 $L$ 是起点为 $(a, 0)$ 经过圆周 $x^{2}+y^{2}=a x$ 上半部分（位于第一象限部分）到终点为 $(0,0)$ 的一段弧，其中 $a, m$ 为大于 0 的实常数。

4．设曲面 $S$ 为球面 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ ，其中 $R>0$ ，方向取外侧，计算

$$
\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

5．已知余元公式 $\displaystyle \Gamma(\alpha) \Gamma(1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin \alpha \pi}(\alpha \in(0,1))$ ，计算

$$
\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} \mathrm{~d} x
$$

1．函数 $f(x)=x+(\sin x)^{2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续；

2．函数 $f(x)=x+\sin x^{2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．

1．当 $0<p<1$ 时，有 $x^{p}+y^{p} \geq(x+y)^{p}$ ；
2 ．当 $p \geq 1$ 时，有 $x^{p}+y^{p} \leq(x+y)^{p}$ ．

1．$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln ^{2} x$ 在 $(0,1]$ 上一致收敛；

2． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln ^{2} x}{1-x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{3}}$ ．

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}}-\frac{1}{x}\right) \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x \mathrm{~d} x=0$ ；

2． $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ．

七．（15 分）已知等式： $\displaystyle 2 \sin \frac{x}{2}\left(\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n} \cos k x\right)=\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x, x \in[-\pi, \pi]$ ，证明：

三．（15 分）设 $\displaystyle x, y$ 均为正实数，证明：

二．（20分）证明题．

五．（20分）证明：

六．（15 分）证明：含参量积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \sin x y}{1+y^{2}} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上内闭一致收敛．

四．（15 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的敛散性，其中 $p$ 为实数．