📝 南京信息工程大学 2021年高等代数真题

1．设线性空间 $V=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right) \right\rvert\, a_{11}-a_{12}+a_{21}=0\right\}$ ，则 $V$ 的维数是 $\_\_\_\_$ ，
一组基为 $\_\_\_\_$ ．

2．首项系数是 1 的 3 次多项式 $f(x)$ ，被 $x-1$ 除余 1 ，被 $x-2$ 除余 2 ，被 $x-3$除余 3 ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．如果把复 $n$ 级对称矩阵按合同分类，即两个复 $n$ 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有 $\_\_\_\_$类。

4．已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & a\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & b\end{array}\right)$ 相似，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$

5．已知 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ 3 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=1 \\ a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=d\end{array}\right.$ 的两个解，系数矩阵的秩为 $\_\_\_\_$ ，方程组的通解为 $\_\_\_\_$ ．

1．计算 $n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}0 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 0 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 0\end{array}\right|$（本题14分）

2．已知经过一个正交变换 $X=P Y$ 把二次型

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}
$$

化为标准形 $f=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}$ ，求 $a, b$ 的值及正交矩阵 $P$ 。（本题 16 分）

3．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ．

1）求 $B$ 的行列式因子、不变因子和初等因子；

2）指出 $A$ 与 $B$ 是否相似，并说明理由．（本题 18 分）

4．$V=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P\right\}$ 是 $P$ 上的 $n$ 维向量空间，定义：

$$
\sigma\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right)=\left(0, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right)
$$

1）说明 $\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换；
2 ）求 $\sigma V, \sigma^{-1}(0)$ 的维数；

3）问 $V$ 是否为 $\sigma V, \sigma^{-1}(0)$ 的直和．（本题20分）

5．设 $A$ 是 2 阶矩阵，$\alpha \neq 0$ 不是 $A$ 的特征向量，令 $P=(\alpha, A \alpha)$ ．

1）说明 $P$ 可逆；

2）若 $A^{2} \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ，求 $P^{-1} A P$ ，并判断 $A$ 是否可对角化．（本题16分）

1．设 $A$ 是一个 $m \times n$ 实矩阵，$A^{T}$ 是 $A$ 的转置矩阵。证明：若 $A$ 的秋 $r(A)=n<m$ ，则 $A^{T} A$ 可逆．（本题 14 分）

2．对任意非负整数 $n, f_{n}(x)=x^{n+1}-(x+1)^{2 n+1}$ ，证明：$\left(f_{n}(x), x^{2}+x+1\right)=1$ ． （本题 12 分）

3．设 $A$ 是 $s \times n$ 矩阵，证明：$r\left(E_{n}-A^{T} A\right)-r\left(E_{s}-A A^{T}\right)=n-s$ ．（本题 10 分）