📝 南京理工大学 2024年高等代数真题

1．设 $f(x)=x^{4}+a, g(x)=x^{6}+b$ ，若 $(f(x), g(x))=x^{2}+1$ ，求 $a b$ 的值 $\_\_\_\_$ ．

2．设 $n$ 阶行列式 $D_{n}=\left|a_{i j}\right|=1$ ，令 $b_{i j}=3^{2 i-j} a_{i j}$ ，求 $\left|b_{i j}\right|$ 的值 $\_\_\_\_$。

3．设 $A$ 为一个 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 行加到第 3 行，再将第 1 行与第 2 行互换之后为 $2 E$ ，求矩阵 $A=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ a & 2 & -b \\ 2 a & -3 a-2 & 3 a+b\end{array}\right)$ 为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，则 $a, b$ 依次为 $\_\_\_\_$ ．

5．设 $A$ 为一个 3 阶方阵，且 $|A+E|=|A+2 E|=|A+3 E|=0$ ，求 $\left|A-A^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

6．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ ，其中 $A^{T}=A,|A|=a, r(A+b E)=1$ ，若 $f$ 正定，求 $a, b$ 满足的条件为 $\_\_\_\_$ ．

7．在几何空间中，设 $O-x y z$ 为一直角坐标系， $\mathscr{A}$ 表示将空间绕 $O x$ 轴，由 $O y$ 轴向 $O z$ 轴旋转 $90^{\circ}$的线性变换，则 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

8．设一数域 $P$ ，设线性空间 $P^{2}$ 中的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 的对偶基为 $f_{1}, f_{2}$ ，则 $P^{2}$ 中的基 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{1}-\alpha_{2}$ 的对偶基为 $\_\_\_\_$ （用 $f_{1}, f_{2}$ 表示）．

七．（15 分）设 $\displaystyle V=P[x]_{n}$ 为次数小于 $n$ 多项式与零多项式生成的线性空间，在 $V$ 上定义一个二元函数

$$
\varphi(f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x, f(x), g(x) \in V
$$

（1）（6 分）若 $\displaystyle n=4$ ，求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle 1, x, x^{2}, x^{3}$ 下的度量矩阵。
（2）（ 9 分）证明：$\displaystyle \varphi$ 为非退化的．

三．（10分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为一个 $n$ 阶矩阵，其中 $\displaystyle a_{i j}=\max \{i, j\}$ ，求 $\displaystyle \left|A^{*}\right|$ ．

九．（15 分）设 $A$ 为一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：存在一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $B$ 与一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $C$ ，满足 $\displaystyle A=C B$ ，且 $\displaystyle B C=E_{r}$（ $\displaystyle E_{r}$ 为 $r$ 阶单位矩阵）．

二．（10 分）设实数域上的多项式为 $\displaystyle f(x)=x^{3}+6 x^{2}+3 p x+8$ ，求当 $p$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 有重因式？

五．（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,3), \alpha_{2}=(1,0,1)$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle \beta_{1}=(-1,2, t), \beta_{2}=(4,1,5)$ 生成的子空间．若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $t$ 的值，并将 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 写成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 的线性组合．

八．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$ ，且 $A$ 与 $B$ 相似．
（1）（5 分）求 $\displaystyle a, b$ 的值．
（2）（10 分）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ．

六．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & 2 a & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，且 $A$ 与 $B$ 合同．
（1）（ 5 分）求 $a$ 的值．
（2）（10 分）求一可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C=B$ ．

四．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ 为一个 4 阶方阵，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{4}=\alpha_{1}-\alpha_{2}$ ，求方程组 $\displaystyle A X=\alpha_{3}+\alpha_{4}$ 的通解．