📝 厦门大学 2026年高等代数真题

1．设 $n$ 阶方阵 $A$ 的列分块为 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right), \operatorname{det}(A)=1$ ，令

$$
B=\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}, 2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \cdots,(n-1) \alpha_{n-1}-\alpha_{n}, n \alpha_{n}-\alpha_{1}\right) .
$$

求 $\operatorname{det}(B)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设 4 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2\end{array}\right)$ ，其逆矩阵 $A^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．向量 $\alpha_{1}=(a, 1,-1,1), \alpha_{2}=(1,1, b, a), \alpha_{3}=(1, a, 1,-1)$ ．当 $a=$ $\_\_\_\_$时，对任意 $b$ 都使得向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的秩为 2 。

4．设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $R(A)=4, R\left(A^{3}\right)=1$ ，且 $R\left(A^{2}\right)>R\left(A^{3}\right)$ ，则 $R\left(A^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．设 $\varphi$ 是 10 维线性空间 $V$ 到 12 维线性空间 $U$ 的线性映射，则 $\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \varphi=$ $\_\_\_\_$ ．

6．设多项式 $f(x)=x^{5}+x^{4}-x^{3}+2 x^{2}-x-2$ ，则它在有理数域上的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

7．设 3 阶方阵 $A$ 有 3 个特征值 $-1,-2,-3$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+A^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

8．若 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素全为 1 ，则其极小多项式为 $\_\_\_\_$ ．

9．设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，则其 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+k x_{2}^{2}+8 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 k x_{2} x_{3}$ 是正定二次型，求 $k$ 的取值范围 $\_\_\_\_$ ．

七．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的不可逆且非幂零的线性变换．证明：存在 $\displaystyle \sigma$ —子空间 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，满足 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，且 $\displaystyle \sigma \mid V_{1}$ 为可逆变换，$\displaystyle \sigma \mid V_{2}$ 为幂零变换．

三．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 为 3 阶实矩阵，$\displaystyle a_{i j}=A_{i j}(i, j=1,2,3)$ ，若 $\displaystyle a_{33}=1$ ，求线性方程组

$$
A\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
$$

的解．

二．（ 15 分）设

$$
P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right), Q=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$

满足 $\displaystyle P X P+Q X Q=P X Q+Q X P+P^{2}-P Q$ ，求 $X$ ．

五．（15 分）（可能有误）设 $\displaystyle f(x)$ 是实数域上的 $n$ 次多项式 $\displaystyle (n \geq 3)$ ，若 $\displaystyle \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=f^{\prime \prime}(x)$ ，且 $\displaystyle f(2025)=0$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．

八．（10 分）证明：对任意的正整数 $\displaystyle m, n$ ，必存在 2025 阶方阵 $X$ ，使得

$$
X^{m}+X^{n}=\left(\begin{array}{cccccc}
2 & & & & & \\
2 & 2 & & & & \\
3 & 2 & 2 & & & \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & & \\
2024 & \ddots & 3 & 2 & 2 & \\
2025 & 2024 & \cdots & 3 & 2 & 2
\end{array}\right) .
$$

六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\displaystyle \varphi$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足

$$
\varphi\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1}(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_{n}\right)=-a_{n} \alpha_{1}-a_{n-1} \alpha_{2}-\cdots-a_{1} \alpha_{n}
$$

证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．

四．（15 分）设 $A$ 为实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：
（1）$A$ 可对角化．
（2）存在实对称矩阵 $B$ 和正定矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．