📝 湖南师范大学 2024年数学分析真题

1．极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \left(\frac{n+1}{2 n} \pi\right)+\sin \left(\frac{n+2}{2 n} \pi\right)+\cdots+\sin \pi\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} t \sin t \mathrm{~d} t}{\sin x-\tan x}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

4．不定积分 $\int|x| \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

5． $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x)^{2}\left(1+x^{2024}\right)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

6．幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}$ 的和函数为 $\_\_\_\_$ ．

7．若 $x y z e^{x+y+z}=1$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ .

8．若广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛，则 $p$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

9．设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则二重积分 $\iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 3\}$.

10．曲面积分 $\iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geq 0$ ．

1．函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 附近有定义，且在 $x=1$ 处可导，已知 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$ ．求极限

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^{2} x+\cos x\right)}{e^{x^{2}}-1}
$$

2．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}}$ ．

3．求曲线积分

$$
I=\int_{L}\left(e^{x}+1\right) \cos y \mathrm{~d} x-\left[\left(e^{x}+x\right) \sin y-x\right] \mathrm{d} y
$$

其中 $L$ 为由点 $A(2,0)$ 沿着曲线 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ 到点 $B(-2,0)$ 的有向曲线段．

4．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}$ 的和．

1．若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：

$$
\left[\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq \frac{1}{12} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x
$$

2．证明函数 $f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续．

3．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ．记 $F(x)=\int_{a}^{b} f(t)|x-t| \mathrm{d} t$ ，证明 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上有唯一的极小值点．