📝 福州大学 2025年高等代数真题
第0题
1．设 $\alpha_{1}=(0,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(-1,3,2)^{T}, \alpha_{3}=(1, \lambda, 3)^{T}$ ，当且仅当 $\lambda$ 满足 $\_\_\_\_$时，任意 3 维列向量都可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出．
第0题
2．设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，且 $A^{2}=-A, E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $|2 E+A|=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
3．设 $A, B$ 分别为 $n \times m$ 和 $m \times n$ 矩阵，若 $r(A B)=n$ ，则 $r(B A)=$ $\_\_\_\_$。
第0题
4．设 $A=\alpha \beta^{T}$ ，其中 $\alpha=(1,3,4)^{T}, \beta=(2,2,1)^{T}$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
5．设 $A$ 为 3 阶正交矩阵，且 $a_{22}=-1$ ，则 $A X=(0,1,0)^{T}$ 的解为 $\_\_\_\_$。
第0题
6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，证明：存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $A B A=A$ 且 $B A B=B$ ．
第0题
7．设 $A=\left(\begin{array}{llllll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的不变因子组和初等因子组．
第0题
8．设
$$
F[x]_{n}=\left\{a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{n}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in F\right\}
$$
求线性变换 $\mathscr{D}: F[x]_{n} \rightarrow F[x]_{n}, \mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$ 的特征多项式和所有特征值．
$$
F[x]_{n}=\left\{a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{n}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in F\right\}
$$
求线性变换 $\mathscr{D}: F[x]_{n} \rightarrow F[x]_{n}, \mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$ 的特征多项式和所有特征值．
第0题
9．设 $\alpha$ 为 $n$ 维实单位列向量，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，求 $E-\alpha \alpha^{T}$ 的秩并说明理由．
第0题
10．$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，求 $A^{2025}$ ．
第0题
11．用正交线性替换将二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，写出所做的正交线性变换和得到的标准形。
第0题
12．设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 $4, r(A-E)=1$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵．求矩阵 $A$ ．
第0题
13．设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $A B=B A$ ，证明：$\left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=\left|A^{2}-B^{2}\right|$ ．
第0题
14．设 $A, B, A B-E$ 都是 $n$ 阶可逆阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
（1）证明：$A-B^{-1}$ 可逆，并求其逆．
（2）证明：$\left(A-B^{-1}\right)^{-1}-A^{-1}$ 可逆，并求其逆。
（1）证明：$A-B^{-1}$ 可逆，并求其逆．
（2）证明：$\left(A-B^{-1}\right)^{-1}-A^{-1}$ 可逆，并求其逆。
第0题
15．设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\lambda$ 实部为 0 ．
第0题
16．设 $\varphi$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $\varphi$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=\lambda^{k}(\lambda-1)^{n-k}$ ，其中 $0<k<n$ ．证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，其中 $V_{1}=\operatorname{Ker} \varphi^{k}, V_{2}=\operatorname{Ker}\left(\varphi-\operatorname{id}_{V}\right)^{n-k}$ 。
第0题
17．设 $\varphi, \psi$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\varphi^{2}=\varphi$ ．证明：
（1） $\operatorname{Ker} \varphi=\{\alpha-\varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ．
（2） $\operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Im} \varphi$ 均是 $\psi$－不变子空间的充分必要条件是 $\psi \varphi=\varphi \psi$ 。
（1） $\operatorname{Ker} \varphi=\{\alpha-\varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ．
（2） $\operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Im} \varphi$ 均是 $\psi$－不变子空间的充分必要条件是 $\psi \varphi=\varphi \psi$ 。
第0题
18．设 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵．证明：
（1）对任意 $m$ 维实向量 $\beta$ ，线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必有解．
（2）若 $X_{0}$ 是线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 的解，则在欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，对任意 $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，均有 $d\left(\beta, A X_{0}\right) \leq d(\beta, A \alpha)$ ，其中 $d(X, Y)$ 表示向量 $X, Y$ 的距离．
（1）对任意 $m$ 维实向量 $\beta$ ，线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必有解．
（2）若 $X_{0}$ 是线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 的解，则在欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，对任意 $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，均有 $d\left(\beta, A X_{0}\right) \leq d(\beta, A \alpha)$ ，其中 $d(X, Y)$ 表示向量 $X, Y$ 的距离．