📝 西北工业大学 2021年数学分析真题

1．用＂$\varepsilon-\delta$＂语言叙述函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的定义，并证明：$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 上连续．

2．计算 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．

3．计算下列极限：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}$

1．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，证明：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．

2．讨论 $f(x)=\sin x^{\alpha}(\alpha>0)$ 在 $(0,1)$ 上的一致连续性．

1．讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} n}{n^{p}}$ 的收敛性．

2．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} x^{n}$ 的收玫域及和函数．

3．设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，且其二阶导数连续，证明：$f(x)$ 的傅里叶级数一致收玫．

1．讨论反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p} \ln ^{q} x} \mathrm{~d} x$ 的收敛性．

2．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ ．

3．求曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}=2 z$ 所围图形的体积．

1．证明：函数列 $f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

2．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上收敛，但不一致收敛．

3．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

七．已知函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=(1-x) x^{n}$ ．

二．设函数 $f$ 是 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)$ 上的有定义．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在的充要条件是对于含于 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)$ 且以 $\displaystyle x_{0}$ 为极限的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在且相等．

五．已知二元函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
$$

讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、可微性以及其偏导数的连续性．