极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\displaystyle\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}\right]^{x}=$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\displaystyle\frac{y}{x}, \displaystyle\frac{z}{x}\right)=0$ 确定，其中 $F$ 为可微函数，且 $F_{2}^{\prime} \neq 0$ ，则 $x \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+y \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=$ （ ）
设 $m, n$ 均是正整数，则反常积分 $\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性
$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} \displaystyle\frac{n}{(n+i)\left(n^{2}+j^{2}\right)}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times m$ 矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $m$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，则（
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 。若 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 3 ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于（
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x\lt 0, \\ \displaystyle\frac{1}{2}, & 0 \leqslant x\lt 1, \\ 1-\mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $P\{X=1\}=$
设 $f_{1}(x)$ 为标准正态分布的概率密度，$f_{2}(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_{1}(x), & x \leqslant 0 \\
b f_{2}(x), & x\gt 0
\end{array}(a\gt 0, b\gt 0)\right.
$$
为概率密度，则 $a, b$ 应满足（ ）
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{-t}, \\ y=\displaystyle\int_{0}^{t} \ln \left(1+u^{2}\right) \mathrm{d} u,\end{array}\right.$ 则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ .
$\displaystyle\int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
已知曲线 $L$ 的方程为 $y=1-|x|(x \in[-1,1])$ ，起点是 $(-1,0)$ ，终点为 $(1,0)$ ，则曲线积分
$$
\int_{L} x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=
$$
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，则 $\Omega$ 的形心的坚坐标 $\bar{z}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,1,1, a)^{\mathrm{T}}$ 。若由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 生成的向量空间的维数为 2 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\displaystyle\frac{C}{k!}, k=0,1,2, \cdots$ ，则 $E\left(X^{2}\right)=$
求函数 $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^{2}}\left(x^{2}-t\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值．
（ I ）比较 $\displaystyle\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t$ 与 $\displaystyle\int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| \mathrm{d} t(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由； （II）记 $u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ ．
求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数．
设 $P$ 为椭球面 $S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-y z=1$ 上的动点，若 $S$ 在点 $P$ 处的切平面与 $x O y$ 面垂直，求点 $P$的轨迹 $C$ ，并计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \displaystyle\frac{(x+\sqrt{3})|y-2 z|}{\sqrt{4+y^{2}+z^{2}-4 y z}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\Sigma$ 是椭球面 $S$ 位于曲线 $C$ 上方的部分。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ．已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 存在 2 个不同的解． （I）求 $\lambda, a$ ； （II）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解。
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，且 $\boldsymbol{Q}$ 的第三列 为 $\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$ ． （I）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ； （II）证明 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 为正定矩阵，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^{2}+2 x y-y^{2}},-\infty\lt x\lt+\infty,-\infty\lt y\lt+\infty
$$
求常数 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ．
（本题满分 11 分）
设总体 $X$ 的概率分布为
| $X$ | 1 | 2 | 3 |
| :--: | :--------: | :----------------: | :--------: |
| $P$ | $1-\theta$ | $\theta-\theta^2+$ | $\theta^2$ |
其中 $\theta \in(0,1)$ 未知，以 $N$ 来表示来自总体 $X$ 的简单随机样本（样本容量为 $n$ ）中等于 $i$ 的个数 $(i=1,2,3)$ ．试求常数 $a_1, a_2, a_3$ ，使 $T=\displaystyle\sum_{-1}^3 a N$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，并求 $T$ 的方差．