向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 第225题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，下列命题中错误的是 （A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 只有零解． （B）存在 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ 而 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ． （C）$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right|=0$ ． （D）$\left|\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=0$ ． 建议荅题时问 ## 更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取 更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取

### 第228题 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & -5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ． 建设容题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 䇆佔

### 第230题 设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 是单位向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{E}+3 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ （A）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 3 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 5 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ． 建放答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第233题 已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，下列命题中错误的是 （A）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同． （B）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $9 \boldsymbol{B}$ 合同． （C）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}+k \boldsymbol{E}$ 合同． （D）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．

### 第234题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列对换得到 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 $i$ 行和第 $j$行对换得到 $\boldsymbol{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ （A）等价但不相似． （B）合同但不相似． （C）相似但不合同． （D）等价、合同且相似．

### 第236题 设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足条件 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ． （1）证明 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆． （2）求秩 $r(\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{B A}+2 \boldsymbol{E})$ ． （3）如果 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。 ##

### 第237题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & a & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 等价，求 $a$ 的值并求一个满足要求的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 使 $\boldsymbol{P A Q}=\boldsymbol{B}$ ．

### 第238题 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(3,10$ ， $b, 4)^{\mathrm{T}}$ 线性相关． （1）求 $a, b$ 的值． （2）判断 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示？如能就写出表达式． （3）求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的一个极大线性无关组． （1）求 $a$ 的值； （2）求满足 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B}$ 的所有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

### 第240题 设向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,0,-8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(9,6,-25)^{\mathrm{T}}$ ． 向量组（II） $\boldsymbol{\beta}_{1}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(a, 2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(b, 1,0)^{\mathrm{T}}$ ． 若 $r$（I）$=r$（II）且 $\boldsymbol{\beta}_{2}$ 可由（I）线性表出，求 $a, b$ 的值，并判断向量组（I）（II）是否等价．

### 第241题 （2017，数农）设向量 $\boldsymbol{\beta}=(1,1,2)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & b\end{array}\right]$ 的特征向量． （1）求 $a, b$ 的值． （2）求方程组 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解．

### 第245题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，证明 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$ ． 建设谷题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

### 第246题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关的列向量，且满足 $$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3} .$ $$ （1）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值． （2）判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似对角化，说明理由． （3）求秩 $r\left(\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}\right)$ 。

### 第247题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0\end{array}\right]$ 有 3 个线性无关的特征向量，求 $a$ 并求 $\boldsymbol{A}^{n}$ ． 建设容题时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第248题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ t-1 & -1 & t\end{array}\right]$ 有二重特征值． （1）求 $t$ 的值； （2） $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵？若能，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵。

### 第249题 设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为3维列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+t \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1} +2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，问矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵，为什么？ 建议荅题时问

### 第250题 设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $1,-2,0$ ，矩阵属于特征值 $1,-2$ 的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 。 （1）求 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 0 的特征向量． （2）求二次型 $\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ ． （3）若二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，求 $k$ 。

### 第251题 二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换． （3）若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 是正定矩阵，求 $k$ ．

### 第252题 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+(a+3) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}$ 的规范形为 $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}$ ．求 $a$ 的值与将其化为规范形的可逆线性变换．

### 第253题 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ ，化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+t y_{3}^{2}-2 y_{1} y_{2}$ ，求 $t$ 的值，并求正交变换矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 。

### 第254题 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ 经可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ ，化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+t y_{3}^{2}-2 y_{1} y_{2}$ ，求参数 $t$ 满足的条件，并求变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ 。