向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 第151题 已知直线 $L$ 过点 $A(1,0,-2)$ 且与 $\Pi: 3 x-y+2 z+3=0$ 平行，同时与 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-1}{4}= \frac{3-y}{2}=z$ 相交，求 $L$ 的方程． 建议谷题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

### 第182题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=4$ ．若 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right. \left.+\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$。

### 第186题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & -2 \\ 1 & a & a \\ a & 4 & a\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 8 \\ 2 & 3 & a \\ 1 & 2 & 2 a\end{array}\right]$ 等价，则 $a$ $\_\_\_\_$ ．

### 第188题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 2 & a & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是三阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ． 建衹答题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第189题 (2002,4)$ 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, 0, b)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0, a, c)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(c, b, 0)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a$ ， $b, c$ 必满足 $\_\_\_\_$ ．$

### 第191题 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,4, t-6)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,6,6)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(t$ ， $14, t-4)^{\mathrm{T}}$ 的极大线性无关组，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ． 纠错 뚤t己

### 第194题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，$\lambda_{1}=1$ 和 $\lambda_{2}=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 2 个特征值，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,4,5)^{\mathrm{T}}$ 。若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\_\_\_\_$。

### 第198题 (1999,4)$ 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ -k & -1 & k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．$

### 第199题 \boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是三个线性无关的三维列向量，其中 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有解 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解 $\boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ $\_\_\_\_$ ．$

### 第200题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{E}$ ，如果秩 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=2$ ，则和 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵是 $\_\_\_\_$ ． 建议荅题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$

### 第201题 已知三元二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}-5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}=(2,1,2)^{\mathrm{T}}$是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的正惯性指数 $p=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第203题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]$ 与二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=3 x_{1}^{2}+a x_{3}^{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ．

### 第204题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -1 \\ 3 & a+5 & -1 & -3 \\ 5 & 10 & a & -5\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间是二维空间，那么 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第206题 D=$\left|\begin{array}{cccc}a^{2} & (a+1)^{2} & (a+2)^{2} & (a+3)^{2} \\ b^{2} & (b+1)^{2} & (b+2)^{2} & (b+3)^{2} \\ c^{2} & (c+1)^{2} & (c+2)^{2} & (c+3)^{2} \\ d^{2} & (d+1)^{2} & (d+2)^{2} & (d+3)^{2}\end{array}\right|=$$ （A） 0 ． （B） 1 ． （C）$a b c d$ ． （D）$a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}$ ．$

### 第216题 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1-a & a & 0 & -a \\ -3 & 6 & 3 & -3 \\ 2-a & a-2 & -1 & 1-a\end{array}\right]$ ，其中 $a$ 为任意常数，则 $(\mathrm{A}) r(\boldsymbol{A})=1$ ． （B）$r(\boldsymbol{A})=2$ ． $(\mathrm{C}) r(\boldsymbol{A})=3$ ． （D）$r(\boldsymbol{A})$ 与 $a$ 有关． 建设荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第217题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ ，则 （A） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关． （B） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关． （C） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关． （D） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关．

### 第220题 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,2,3,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,0,3, a)^{\mathrm{T}}$的秩等于 3 ，则 $a=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第221题 已知四维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第222题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是四阶矩阵， $\boldsymbol{\eta}_{1}=(3,1,-2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,-1,2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则下列命题中正确的一共有 （1） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 一定可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。 （2） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 列向量的极大线性无关组． （3）秩 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=2$ 。 （4） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 列向量的极大线性无关组． （A） 4 个． （B） 3 个． （C） 2 个． （D） 1 个．