定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）

### 第135题 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x^{\alpha}-\sin x}=\beta \neq 0$ ，求 $\alpha$ 与 $\beta$ ． 辣估 管题 区或 sㅓㄴㅐst． 뎡류

### 第143题 设 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-2 t^{3}\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，试确定方程 $f(x)=0$ 的实根个数．

### 第147题 已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有定义，$f(x) \neq 0$ ，且满足 $$ f(x)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t \tan \frac{x}{t}\left[g\left(a x+\frac{x}{t}\right)-g(a x)\right]}{a-\arctan \frac{t}{x}}, $$ 其中函数 $g(x)$ 可导，且 $\displaystyle \arctan \frac{1}{x}$ 是 $g(x)$ 的一个原函数。 （1）求参数 $a$ 的值； （2）计算 $\displaystyle \int_{\frac{2}{x}}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ． 建役荅题时问 $\leqslant 14 \mathrm{~min}$ 锌佔

### 第148题 设 $G^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} G(x)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} t^{2} G(t) \mathrm{d} t$ ．

### 第150题 设 $\displaystyle a>0, f(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x$ ．判断 $f^{\prime}(1)$ 是否存在，若存在，试求其值。 建议荅题时问

### 第166题 计算积分 $\displaystyle I=\oiint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} y \mathrm{~d} z}{x}+\frac{\mathrm{d} z \mathrm{~d} x}{y}+\frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{z}$ ，其中 $\Sigma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧． ## 更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取 更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取

### 第175题 设 $f(x), g(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=4 \mathrm{e}^{x}-f(x)$ ，且 $f(0)=g(0)=0$ ，求定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{x}{2}}\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．

### 第2题 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$$ $\_\_\_\_$ ． 建役答题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}

### 第264题 设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 2-y, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 则随机变量 $Z=X-Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ 应为 $\_\_\_\_$。

### 第3题 设 $f(x)$ 是非负连续函数，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\ln (1+x)} t f(t) \mathrm{d} t}{\left[\int_{0}^{x} \sqrt{f(t)} \mathrm{d} t\right]^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．