矩阵的定义

### 第183题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ，则 $\displaystyle \left|\left(\frac{1}{3} \boldsymbol{B}\right)^{-1}-2 \boldsymbol{B}^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ .

### 第184题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $1,2,-1$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{3}+2 \boldsymbol{A}^{2}$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第185题 计算 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]^{9}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{10}=$ $\_\_\_\_$ ． 熟䋘

### 第187题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right]$ ，若矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{X}$ ，则 $\boldsymbol{X}^{4}=$ $\_\_\_\_$ ． 辣估

### 第197题 已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，又三阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B A}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$ ．

### 第208题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，若 $|\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=3$ ，则 $|2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$ （A）-4 ． （B） 9 ． （C） 16 ． （D）-9 ．

### 第210题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$ ，则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=$ （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{B}$ ． （B） $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}$ ． （C） $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ． （D）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{A}$ ． 建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

### 第212题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵且 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，若 $\boldsymbol{Q}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right.$ ， $\left.2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=$ （A）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ． 建欲答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

### 第213题 （2016，数农）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 5$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $r(\boldsymbol{A})=$ （A） 4 ． （B） 3 ． （C） 2 ． （D） 1 ． 建被答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第214题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & 3 & a+2\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是三阶非零矩阵且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 （A）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的必要条件． （B）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件． （C）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分条件． （D）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件．

### 第215题 (2003,3)$ 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right]$ ，若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，则必有 （A）$a=b$ 或 $a+2 b=0$ ． （B）$a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$ ． （C）$a \neq b$ 且 $a+2 b=0$ ． （D）$a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$ ． 旗胜考研$

### 第223题 (1991,4)$ 设方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有 $m$ 个方程，$n$ 个未知数且 $m \neq n$ ，则正确命题是 （A）若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解。 （B）若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解． （C）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解。 （D）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解。 建致谷题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}

### 第226题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，对于齐次线性方程组（I） $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和（II） $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ ，现有四个命题 （1）（ I ）的解必是（II）的解； （2）（II）的解必是（I）的解； （3）（ I ）的解不是（II）的解； （4）（II）的解不是（I）的解． 以上命题中正确的是 （A）（1）（2）． （B）（1）（4）． （C）（3）（4）． （D）（2）（3）． 建㓪谷题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$ ## 1）響

### 第227题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]$ 是三阶可逆矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是三阶矩阵，且 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a_{11} & 4 a_{13} & a_{12} \\ a_{21} & 4 a_{23} & a_{22} \\ a_{31} & 4 a_{33} & a_{32}\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}$ 的特征值是 （A） $1,-1,4$ ． （B） $1,1,-4$ ． （C） $1,2,-2$ ． （D） $1,-1,2$ ．

### 第229题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{C}, \boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{D}$ ，则必有 （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \sim(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{D})$ ． （B）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]$ ． （C） $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{C D}$ ． （D）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{D} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ．

### 第231题 与二次型 $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既合同又相似的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -8\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & -2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ． 建设荅题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第232题 已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{2} x_{3}$ 和 $\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B y}=y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}$ ，则二次型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ （A）相似且合同． （B）相似但不合同． （C）合同但不相似． （D）不合同也不相似。

### 第243题 设方程组 $$ $\left\{\begin{aligned}$ x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} & =5, \\ 2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} & =7, \\ 4 x_{1}+a x_{2}+9 x_{3}+10 x_{4} & =11 . $\end{aligned}\right.$ $$ （1）当 $a$ 为何值时方程组有解？并求其通解． （2）求方程组满足 $x_{1}=x_{2}$ 的所有解。

### 第244题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 7\end{array}\right]$ ，当 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解？此时求方程组的通解．