三角级数、三角函数系的正交性

### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足 $$ f(x)=f(x-\pi)+\sin x $$ 且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$ ，求 $f(x)$ 在 $[\pi, 3 \pi)$ 上的表达式。

### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle \arctan \frac{x}{y}=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 与 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

### 第41题 曲线 $x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小，则在该点处的曲率半径为 $\_\_\_\_$。 （ ）纠错笔记

## 第41题 (高等数学 - 填空题) 曲线 $x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小，则在该点处的曲率半径为 $\_\_\_\_$。 （ ）纠错笔记

### 【强化篇】第44题（解答题） 44．设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f\left(\frac{2}{x}\right)(x>0)$ ． （1）证明 $x^{2} f^{\prime \prime}(x)+2 f(x)=0(x>0)$ ； （2）令 $x=e^{t}$ ，化（1）中方程为常系数线性微分方程，并求 $f(x)$ 。

### 【基础篇】第5题（选择题） 5．当 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}$ 是 $\sqrt[3]{1+x^{2}}-1$ 的（ ）。 （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶但非等价无穷小 （D）等价无穷小

### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $y=2 x+\sin x$ ，求其反函数 $x=x(y)$ 的二阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}$ ．

### 【强化篇】第6题（填空题） 6．若 $y=\sin \left(\mathrm{e}^{-\sqrt{x}}\right)$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设函数 $f(x, \sin x)=x+\sin x, f_{x}^{\prime}(x, y)=1+2 \cos x$ ，则 $\left.f_{y}^{\prime}(x, y)\right|_{y=\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第634题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$ （A）不存在． （B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ． （D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．

### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \tan t\end{array}\right.$ 所确定，则在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内（ ）。 （A）$f(x)$ 连续，$f^{\prime}(0)$ 不存在 公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （B）$f^{\prime}(0)$ 存在，$f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续 （C）$f^{\prime}(x)$ 连续，$f^{\prime \prime}(0)$ 不存在 （D）$f^{\prime \prime}(0)$ 存在，$f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

### 【强化篇】第9题（填空题） 9．设函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}-2 t+1, \\ \mathrm{e}^{y} \sin t-y+1=0\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．