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三角级数、三角函数系的正交性
第 251 题
### 第251题
函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为
（A）-1 ．
（B） 1 ．
（C） $1+\sqrt{2}$ ．
（D） $1-\sqrt{2}$ ．
第 251 题
## 第251题 (高等数学 - 选择题)
函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为
（A）-1 ．
（B） 1 ．
（C） $1+\sqrt{2}$ ．
（D） $1-\sqrt{2}$ ．
第 26 题
### 第26题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1 \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## （－）纠错笔记
第 26 题
## 第26题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1 \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## （－）纠错笔记
第 27 题
### 【强化篇】第27题（解答题）
27．设 $b \geqslant a>0$ ，求证： $\displaystyle \arctan \frac{b-a}{2} \geqslant \frac{\arctan b-\arctan a}{2}$ ．
第 29 题
### 【强化篇】第29题（选择题）
29．当 $x \rightarrow 0$ 时， $\ln (1+x)-\tan x$ 与 $a x^{b}$ 是等价无穷小，则 $(a, b)=()$ 。
（A）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$
（B）$\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 2\right)$
（C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{3}, 3\right)$
（D）$\displaystyle \left(\frac{1}{3}, 3\right)$
第 29 题
### 【强化篇】第29题（选择题）
29．设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 $\cos x$ 与 $\mathrm{e}^{2 x}$ ，则该微分方程为（）。
（A）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=0$
（B）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$
（C）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$
（D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$
第 31 题
### 【强化篇】第31题（选择题）
31．当 $x \rightarrow 0$ 时， $\arcsin x-x$ 与 $a x^{b}$ 是等价无穷小，则 $(a, b)=$ ．
（A）$\displaystyle \left(-\frac{1}{6}, 2\right)$
（B）$\displaystyle \left(\frac{1}{6}, 2\right)$
（C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{6}, 3\right)$
（D）$\displaystyle \left(\frac{1}{6}, 3\right)$
第 32 题
### 第32题
设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 32 题
## 第32题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 33 题
### 【强化篇】第33题（解答题）
33．将以 $y=y(x)$ 为末知函数的微分方程 $y^{\prime \prime}+\left(x+\mathrm{e}^{y}+\sin y\right)\left(y^{\prime}\right)^{3}=0$ 化为以 $x=x(y)$ 为未知函数的形式，并求其通解。
第 34 题
### 第34题
设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ $\_\_\_\_$ ， $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=$ $\_\_\_\_$ ．
第 34 题
## 第34题 (高等数学 - 填空题)
设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ $\_\_\_\_$ ， $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=$ $\_\_\_\_$ ．
第 34 题
### 【强化篇】第34题（填空题）
34．设 $y=y(x)$ 满足关系式 $\mathrm{e}^{2 x}\left(y^{\prime \prime}+y^{\prime}\right)+y=\mathrm{e}^{-x}$ ，且 $\displaystyle x=-\ln t, t>0, y\left(\ln \frac{2}{\pi}\right)=\frac{\pi}{2}$ ，则 $y(x)=$
$\_\_\_\_$ ．
第 35 题
### 第35题
设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 35 题
## 第35题 (高等数学 - 填空题)
设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 35 题
### 【强化篇】第35题（填空题）
35．已知某三阶常系数齐次线性微分方程有两个特解，分别为 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2} x} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x$ 与 $\mathrm{e}^{x}$ ，则该微分方程为 $\_\_\_\_$ ．
第 39 题
### 第39题
设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．
第 39 题
## 第39题 (高等数学 - 填空题)
设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．
第 39 题
### 【强化篇】第39题（选择题）
39．已知函数 $\displaystyle f(x, y)=x \mathrm{e}^{\cos y}+\frac{x^{2}+\mathrm{e}^{2}}{2}$ ，则 ．
（A）（－ $\mathrm{e}, 2 \pi$ ）是 $f(x, y)$ 的极小值点
（B）（一 $\mathrm{e}, 2 \pi)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点
（C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{\mathrm{e}}, 3 \pi\right)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点
（D）$\displaystyle \left(-\frac{1}{\mathrm{e}}, 3 \pi\right)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点