三角级数、三角函数系的正交性

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．函数 $f(x)=x^{2} \tan x \mathrm{e}^{\cos x}$ 是（ ）． （A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）奇函数

### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设由线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点处的切线与直线 $2 x+y+6=0$ 平行，而 $y(x)$ 满足峭分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0$ ，则此曲线的方程为 ． （A）$y=e^{T} \sin 2 x$ （B）$y=-e^{x} \sin 2 x$ （C）$y^{\prime}=c^{7}(\cos 2 x-\sin 2 x)$ （D）$y=\mathrm{e}^{x}(\sin 2 x-\cos 2 x)$

### 第143题 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是 （A）$f(x) \sin x$ ． （B）$f(x)+\sin x$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$|f(x)|$ ．

## 第143题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是 （A）$f(x) \sin x$ ． （B）$f(x)+\sin x$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$|f(x)|$ ．

### 【基础篇】第15题（填空题） 15．曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{t} \sin 2 t, \\ y=\mathrm{e}^{t} \cos t\end{array}\right.$ 在对应 $t=0$ 处的点的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第16题（选择题） 16．设 $f(x)=|x| \sin ^{2} x$ ，则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的阶数 $n$ 的最大值为（）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

### 【基础篇】第16题（填空题） 16．已知某常系数齐次线性微分方程的通解为 $y=C_{1}+\mathrm{e}^{x}\left(C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x\right)$ ，则该微分方程为 $\_\_\_\_$。

### 第161题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． 答题 区

### 第166题 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}(a>0)\right.$ 在参数 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ 对应的点处的曲率为 （A）$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} a}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2} a}$ ．

## 第166题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}(a>0)\right.$ 在参数 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ 对应的点处的曲率为 （A）$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} a}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2} a}$ ．

### 第171题 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则 （A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ 。 （B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． （D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． 172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

## 第171题 (高等数学 - 选择题) 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则 （A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ 。 （B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． （D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． 172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

### 【基础篇】第2题（解答题） 2．判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ 的敛散性．

### 【基础篇】第20题（解答题） 20．求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=8 \cos x$ ，当 $x \rightarrow-\infty$ 时为有界的特解。

### 第220题 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式 （A）$A \sin x+B \cos x$ ． （B）$A x \cos x$ ． （C）$A x \sin x$ ． （D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．

## 第220题 (高等数学 - 选择题) 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式 （A）$A \sin x+B \cos x$ ． （B）$A x \cos x$ ． （C）$A x \sin x$ ． （D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．

### 第221题 设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解 （A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ． （D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ．

## 第221题 (高等数学 - 选择题) 设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解 （A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ． （D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ．

### 【强化篇】第23题（选择题） 23．设下列 $A, B, C$ 为任意常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=\sin ^{2} x$ 有特解形如（ ）。 （A）$A \sin ^{2} x$ （B）$A \cos ^{2} x$ （C）$x(A+B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ （D）$A+x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$

### 【强化篇】第25题（选择题） 25．当 $x \rightarrow 0$ 时，$(3+2 \tan x)^{x}-3^{x}$ 是 $\displaystyle 3 \sin ^{2} x+x^{3} \cos \frac{1}{x}$ 的（ ． （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小