偏导数的定义及其计算法

### 第645题 设 $C_{k}(k=1,2,3)$ 分别为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=2$ ，其方向为逆时针方向，$I_{k}=\oint_{C_{k}}\left(3 y x^{2}+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y(k=1,2,3)$ ．则 （A）$I_{1}

第 8 题

### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设 $\displaystyle f\left(x+y, \frac{x}{y}\right)=x^{2}-x y+y^{2}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

第 8 题

### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设函数 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，$z=f(x y, x+y)$ ．若 $\left.\mathrm{d} z\right|_{\substack{x=2 \\ y=3}}=6 \mathrm{~d} x+5 \mathrm{~d} y$ ，则 $f_{u}^{\prime}(6,5)+ f_{v}^{\prime}(6,5)=$ $\_\_\_\_$。

第 85 题

### 第85题 设 $u=u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\right)$ 有二阶连续的偏导数，且满足 $$ $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$ $$ 则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

第 85 题

## 第85题 (高等数学 - 填空题) 设 $u=u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\right)$ 有二阶连续的偏导数，且满足 $$ $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$ $$ 则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

第 86 题

### 第86题 设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\mathrm{e}^{x y}+x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ．

第 87 题

### 第87题 设 $z=\mathrm{e}^{x}+y^{2}+f(x+y)$ ，且当 $y=0$ 时，$z=x^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$。 ## Q
纠错笔记 ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）

第 87 题

## 第87题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=\mathrm{e}^{x}+y^{2}+f(x+y)$ ，且当 $y=0$ 时，$z=x^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$。 ## Q
纠错笔记 ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）

第 88 题

### 第88题 设 $z=(x-2 y)^{y-2 x}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$ $\_\_\_\_$ ． 纠错笔记 89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ． －纠错笔记

第 88 题

## 第88题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=(x-2 y)^{y-2 x}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$ $\_\_\_\_$ ． 纠错笔记 89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ． －纠错笔记

第 9 题

### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设函数 $f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial[f(x, y)]}{\partial x}$ ．

第 9 题

### 【强化篇】第9题（填空题） 9．撤分方程 $(x+y) \mathrm{d} y+(y+1) \mathrm{d} x=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．

第 90 题

### 第90题 设 $f(u, v)$ 是二元可微函数，$z=f\left(x^{y}, y^{2 x}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题区 □

第 90 题

## 第90题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(u, v)$ 是二元可微函数，$z=f\left(x^{y}, y^{2 x}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题区 □

第 91 题

### 第91题 设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 －纠错笔记

第 91 题

## 第91题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 －纠错笔记

第 93 题

### 第93题 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

第 93 题

## 第93题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．