偏导数的定义及其计算法

### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $3 x+x y z+z^{3}=1$ 所确定的函数，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x, y)$ 在平面有界闭区域 $D$ 上具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}>0$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0$ ，则（ ）。 （A）$f(x, y)$ 的最小值点和最大值点都在 $D$ 的内部 （B）$f(x, y)$ 的最小值点和最大值点都在 $D$ 的边界上 （C）$f(x, y)$ 的最小值点在 $D$ 的内部，最大值点在 $D$ 的边界上 （D）$f(x, y)$ 的最大值点在 $D$ 的内部，最小值点在 $D$ 的边界上

### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设函数 $f(u)$ 可导，$z=f(\cos y-\cos x)+x y$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\sin y} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第2题（解答题） 2．求曲面 $4 z=3 x^{2}-2 x y+3 y^{2}$ 上的点到平面 $x+y-4 z=1$ 的最短距离．

### 【基础篇】第20题（选择题） 20．设 $f(x, y)=x^{4}+y^{4}-(x+y)^{2}$ ，且 $(1,1)$ 与 $(-1,-1)$ 为函数 $f(x, y)$ 的两个驻点，则（ ）。 （A）$f(1,1)$ 与 $f(-1,-1)$ 都是极大值 （B）$f(1,1)$ 与 $f(-1,-1)$ 都是极小值 （C）$f(1,1)$ 是极大值，$f(-1,-1)$ 是极小值 （D）$f(1,1)$ 是极小值，$f(-1,-1)$ 是极大值

### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $f(u, v)$ 存在二阶连续偏导数，$z=z(x, y)$ 是由方程 $f(z-x, z-y)=1$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

### 【强化篇】第21题（填空题） 21．已知函数 $f(x, y)=\mathrm{c}^{-x}\left(a x+b-y^{2}\right)$ ，若 $f(-1,0)$ 为其极大值，则 $a, b$ 满足 $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第22题（解答题） 22．求函数 $f(x, y)=(y-x)\left(y-x^{2}\right)$ 的极值．

### 【强化篇】第22题（选择题） 22．设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处取极大值，记 $\displaystyle a=\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}, b= \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ ，则 ． （A）$a>0, b>0$ （B）$a \geqslant 0, b \geqslant 0$ （C）$a<0, b<0$ （D）$a \leqslant 0, b \leqslant 0$

### 【基础篇】第23题（解答题） 23．求函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．

### 【强化篇】第23题（解答题） 23．设 $a>0, b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x, y)=2 \ln |x|+\frac{(x-a)^{2}+b y^{2}}{2 x^{2}}$ 在 $x<0$ 时的极小值为 2 ，且．$f_{y y}^{\prime \prime}(-1,0)=1$ ． （1）求 $a, b$ 的值； （2）求 $f(x, y)$ 在 $x>0$ 时的极值．

### 第239题 二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $z=f(x, y)$ 在该点处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在的 （A）必要但非充分条件． （B）充分但非必要条件． （C）充要条件． （D）既非充分条件也非必要条件．

## 第239题 (高等数学 - 选择题) 二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $z=f(x, y)$ 在该点处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在的 （A）必要但非充分条件． （B）充分但非必要条件． （C）充要条件． （D）既非充分条件也非必要条件．

### 【基础篇】第24题（解答题） 24．求函数 $f(x, y)=x^{3}-3 x y-y^{2}-y-9$ 的极值．

### 【强化篇】第24题（选择题） 24．设函数 $f(x, y)=x^{2}+x y$ ，则点 $(0,0)()$ ． （A）不是驻点，也不是极值点 （B）不是驻点，但是极值点 （C）是驻点，但不是极值点 （D）是驻点，也是极值点

### 第241题 函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的 （A）充分但非必要条件． （B）必要但非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不充分也不必要条件．

## 第241题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的 （A）充分但非必要条件． （B）必要但非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不充分也不必要条件．

### 第242题 设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)x_{2}, y_{1}x_{2}, y_{1}>y_{2}$ ． （C）$x_{1}y_{2}$ ．

## 第242题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)x_{2}, y_{1}x_{2}, y_{1}>y_{2}$ ． （C）$x_{1}y_{2}$ ．

### 第244题 已知方程 $\displaystyle f\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定了函数 $z=z(x, y), f(u, v)$ 可微，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ （A）$z$ ． （B）$-z$ ． （C）$y$ ． （D）$-y$ ． 答题 区