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偏导数的定义及其计算法
第 1 题
### 【基础篇】第1题（填空题）
1．设 $z=\arctan [x y+\cos (x+y)]$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0, \pi)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 10 题
### 【基础篇】第10题（选择题）
10．设 $\displaystyle Q(x, y)=\frac{x}{y^{2}}, y>0, P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 是某二元函数的全微分，则 $P(x, y)$ 可取为（ ）。
（A）$\displaystyle y^{2}-\frac{x^{2}}{y^{3}}$
（B）$\displaystyle x^{2}-\frac{1}{y}$
（C）$\displaystyle \frac{1}{y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{3}}$
（D）$\displaystyle \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y}$
第 100 题
### 第100题
设 $f(x, y, z)=\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z=0$ 所确定的隐函数，则 $f_{x}^{\prime}(0,1,-1)=$ $\_\_\_\_$ ．
□
第 100 题
## 第100题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x, y, z)=\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z=0$ 所确定的隐函数，则 $f_{x}^{\prime}(0,1,-1)=$ $\_\_\_\_$ ．
□
第 104 题
### 第104题
二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．
Q
第 104 题
## 第104题 (高等数学 - 填空题)
二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．
Q
第 105 题
## 第105题 (高等数学 - 填空题)
设方程式 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0$ 确定某隐函数 $z=z(x, y)>0$ ，则 $z=z(x, y)$ 的极 $\_\_\_\_$值点是 $\_\_\_\_$ ，相应的极值是 $\_\_\_\_$。
答题 区
第 11 题
### 【基础篇】第11题（填空题）
11．函数 $z=x^{y}$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分为 $\mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$。
第 11 题
### 【强化篇】第11题（填空题）
11．设 $z=z(x, y)$ 是由 $z+\mathrm{e}^{z}=x y$ 所确定的二元函数，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{z=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 12 题
### 【基础篇】第12题（填空题）
12．设 $f$ 具有二阶连续偏导数，且 $u=f\left(x^{2}+y, x y\right)$ ，则 $u_{x y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$。
第 12 题
### 【强化篇】第12题（填空题）
12．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{x-2 y+3 z}-2 x \mathrm{e}^{-y} \cos z=1$ 所确定的函数，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 13 题
### 【基础篇】第13题（解答题）
13．设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，函数 $\displaystyle g(x, y)=x y-f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ，求
$$
x^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}
$$
第 13 题
### 【强化篇】第13题（选择题）
13．已知 $\displaystyle \frac{a y \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}-1}\left(x^{2}+y^{2}<1\right)$ 是某二元函数的全微分，则 $a=(\quad)$ ．
（A） 1
（B）-1
（C） 2
（D）-2
第 14 题
### 【基础篇】第14题（填空题）
14．设 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=x y i-y \cos z j+z \sin x k$ ，则 $\left.\operatorname{rot} \boldsymbol{F}\right|_{(1,1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 15 题
### 【基础篇】第15题（解答题）
15．设 $f(u)=\ln u, u=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial z^{2}}$ ．
第 16 题
### 【基础篇】第16题（解答题）
16．设函数 $u=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，作变量代换 $\xi=x, \eta=y-x$ ，将方程
$$
$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$
$$
化为以 $\xi, \eta$ 为自变量的方程．
第 16 题
### 【强化篇】第16题（选择题）
16．设函数 $f$ 与 $g$ 均可微，$z=f[x y, \ln x+g(x y)]$ ，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$ 。
（A）$f_{1}^{\prime}$
（B）$f_{2}^{\prime}$
（C）$f_{1}^{\prime}+f_{2}^{\prime}$
（D）$f_{1}^{\prime}-f_{2}^{\prime}$
第 17 题
### 【基础篇】第17题（解答题）
17．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ 确定，且 $F(u, v)$ 具有连续偏导数，求 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+ y \frac{\partial z}{\partial y}$.
第 17 题
### 【强化篇】第17题（选择题）
17．设 $F(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，且 $z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(\frac{x}{z}, y z\right)=0$ 所确定．设题中出现的分母不为零，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$ ．
（A） 0
（B）$z$
（C）$\displaystyle \frac{1}{z}$
（D） 1
第 18 题
### 【基础篇】第18题（选择题）
18．设 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 内有一阶偏导数．若 $f(x, y)$ 在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上的值均为 0 ，且 $\displaystyle \frac{\partial[f(x, y)]}{\partial x}+\frac{\partial[f(x, y)]}{\partial y}=f(x, y)$ ，则 $f(x, y)(\quad)$ 。
（A）在 $D$ 内有正的最大值
（B）在 $D$ 内有负的最小值
（C）只在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上取到最大值
（D）在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上可以取到最小值