偏导数的定义及其计算法

## 第244题 (高等数学 - 选择题) 已知方程 $\displaystyle f\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定了函数 $z=z(x, y), f(u, v)$ 可微，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ （A）$z$ ． （B）$-z$ ． （C）$y$ ． （D）$-y$ ． 答题 区

### 第249题 设 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是 （A）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （B）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ． （C）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （D）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．

## 第249题 (高等数学 - 选择题) 设 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是 （A）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （B）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ． （C）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （D）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．

### 【强化篇】第25题（解答题） 25．求函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x+y}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)}$ 的极值．

### 第250题 函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处 （A）取极大值． （B）取极小值． （C）不取得极值． （D）是否取得极值与 $k$ 取值有关．

## 第250题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处 （A）取极大值． （B）取极小值． （C）不取得极值． （D）是否取得极值与 $k$ 取值有关．

### 第253题 设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是 （A）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点且是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点但不是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点．

### 【基础篇】第26题（解答题） 26．求 $\displaystyle f(x, y)=x^{4}-\frac{1}{12} x^{6}-2 x^{2} y-\frac{1}{2} y^{2}$ 的极值点．

### 【强化篇】第26题（解答题） 26．求由方程 $2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}+8 x z-z+8=0$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 的极值，并指出是极大值还是极小值．

### 【强化篇】第27题（解答题） 27．设 $f(x, y)=3 x+4 y-a x^{2}-2 a y^{2}-2 b x y$ 。当 $a, b$ 满足何种条件时，$f(x, y)$ 有唯一的极大值，并说明理由。

### 【强化篇】第29题（解答题） 29．求曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5\end{array}\right.$ 上距离 $x O y$ 平面最远和最近的点的坐标．

### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设函数 $f(u)$ 可导，$z=y f\left(x^{y^{2}}\right)$ ，则 $\displaystyle 2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z+2 y \ln z-\arctan (x y)=1$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第4题（填空题） 4．曲面 $z=2 x+y+\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第40题（选择题） 40．设 $f(x, y)=\left(x-y^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-x}$ ，则函数 $f(x, y)($ ． （A）有一个极小值，没有极大值 （B）有一个极大值，没有极小值 （C）有一个极大值，一个极小值 （D）没有极值

### 【强化篇】第42题（选择题） 42．设 $z=z(x, y)$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=u \mathrm{e}^{v}, \\ y=u v,(u>0, v>1) \text { 所确定，则 } \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}= \\ z=v\end{array}\right.$ ． （A）$\displaystyle \frac{x y}{z(1-z)^{3}}$ （B）$\displaystyle \frac{x y}{z(z-1)^{3}}$ （C）$\displaystyle \frac{z}{x y(1-z)^{3}}$ （D）$\displaystyle \frac{z}{x y(z-1)^{3}}$

### 【强化篇】第43题（选择题） 43．已知函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，$f(1,1)=1$ 是 $f(x, y)$ 的极值，且 $z=f[x y$ ， $f(x, y)]$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$ ． （A）$f_{u u}^{\prime \prime}(1,1)+f_{v v}^{\prime \prime}(1,1)$ （B） $2 f_{u v}^{\prime \prime}(1,1)$ （C） 0 （D）$f_{\text {tue }}^{\prime \prime}(1,1)$

### 【强化篇】第46题（解答题） 46．设函数 $u(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} u=\left[\mathrm{e}^{r}+f^{\prime}(x)\right] y \mathrm{~d} x+f^{\prime}(x) \mathrm{d} y$ ，其中 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶连续的导数，且 $f(0)=4, f^{\prime}(0)=3$ ，求 $f(x)$ ．

### 【强化篇】第48题（选择题） 48．设函数 $z_{1}=x^{3}+y^{2}$ 与 $z_{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ，易知有驻点 $(0,0)$ ，则在该点处（ ）。 （A）函数 $z_{1}=x^{3}+y^{2}$ 有极小值，而函数 $z_{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ 无极值 （B）函数 $z_{1}=x^{3}+y^{2}$ 无极值，而函数 $z_{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ 有极小值 （C）上述两个函数都有极值 （D）上述两个函数都无极值

### 【强化篇】第49题（解答题） 49．设函数 $u=u(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+3 y^{2} \leqslant 4\right\}$ 上连续，在区域 $D$ 的内部有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle -2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-3 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=u^{2}$ 。在区域 $D$ 的边界 $2 x^{2}+3 y^{2}=4$ 上 $u(x, y) \geqslant 0$ 。 证明：当 $2 x^{2}+3 y^{2} \leqslant 4$ 时，$u(x, y) \geqslant 0$ ．