正项级数及其审敛法（比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、积分审敛法）

### 【基础篇】第16题（解答题） 16．已知 $f(x)=|x|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ． （1）将 $f(x)$ 展开成余弦级数； （2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ．

### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, b_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots$ ，计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ．

### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设 $a_{n}=\int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ． （1）求 $a_{n}$ 的表达式； （2）计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{2}}{a_{n}}$ ．

### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $a_{n}=\int_{0}^{1} x^{2} \ln ^{n} x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ． （1）求 $a_{n}$ 的表达式； （2）计算 $\displaystyle \sum_{n-0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!}$ ．

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．（1）求微分方程 $\displaystyle y^{\prime}(x)+y(x)=\frac{(-x)^{n-1}}{3^{n} \mathrm{e}^{x}}$ 的通解，其中 $n$ 为任意正整数； （2）记 $a_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 是（1）中满足条件 $y(0)=0$ 的特解，求级数 $\sum_{n-1}^{\infty} a_{n}(x)$ 的和函数。

### 【强化篇】第23题（解答题） 23．设锥面 $\Sigma$ 的顶点是 $A(0,1,1)$ ，准线是 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1, \\ z=0,\end{array}\right.$ 直线 $L$ 过顶点 $A$ 和准线上任一点 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, 0\right) . \Omega$ 是 $\sum(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 与平面 $z=0$ 所围成的锥体． （1）求 $L$ 和 $\Sigma$ 的方程； （2）求 $\Omega$ 的形心坐标。

### 【强化篇】第24题（解答题） 24．$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\sin t| \mathrm{d} t(x \geqslant 0)$ 在 $x \rightarrow 0^{+}$处的 2 次泰勒多项式为 $a+b x+c x^{2}$ ，求 $a$ ， $b, c$ 的值．

### 【强化篇】第28题（填空题） 28． $\displaystyle \int_{0}^{1-\cdots} \frac{x \ln x}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ，

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设总体 $\displaystyle X \sim f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{\theta} \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{20}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array} \theta>0\right.$ 未知，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $\hat{\theta}_{M}$ 与 $\hat{\theta}_{L}$ 分别是 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量，则（）。 （A）$\displaystyle \hat{\theta}_{M}=\frac{2}{\pi} \bar{X}^{2}, E\left(\hat{\theta}_{M}\right)=\theta$ （B）$\displaystyle \hat{\theta}_{M}=\frac{1}{\pi} \bar{X}^{2}, E\left(\hat{\theta}_{M}\right)=\theta$ （C）$\displaystyle \hat{\theta}_{L}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, E\left(\hat{\theta}_{L}\right)=\theta$ （D）$\displaystyle \hat{\theta}_{L}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, E\left(\hat{\theta}_{L}\right)=\theta$

### 【强化篇】第31题（解答题） 31．设 $a_{n}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n} a_{n+2}$ 。

### 【强化篇】第39题（填空题） 39．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & -\pi \leqslant x<0,\end{array} S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n-1}^{\cdots}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=$ ， $\_\_\_\_$ 考研数学题源探析经典 1000 题（数学一） （A）$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$ （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

### 【强化篇】第40题（填空题） 40．设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $f(x)=1-x, x \in[0,1]$ ．若 $\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \pi x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第42题（解答题） 42．将下列函数进行傅里叶展开． （1）在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 展开 $f(x)=x \cos x$ 为傅里叶级数； （2）将函数 $f(x)=x$ 在 $[0, \pi]$ 上展开为余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}$ 的和； （3）将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 在区间 $[0, \pi]$ 上分别展开为余弦级数和正弦级数．