📝 大连理工大学 2026年数学分析真题

1．试构造仅在 $x=0$ 和 $x=2026$ 两点可微的函数 $f(x)$ ，而在其余个点皆不连续．

2．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{e^{x}-1}-e \sqrt[x]{x}}{\sqrt[x]{x}}$ ．

3．设 $f(x)$ 可微，且有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x f(x)+f^{\prime}(x)}{x}=L \in \mathbb{R}$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=L$ ．

4．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是正数列，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=\sup \left\{a_{n}\right\}$ ．

5．证明 $\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上不一致连续．

6．计算极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty}} \frac{2 x-3 y}{x^{2}-2 x y+3 y^{2}}$ ．

7．计算 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1-t}}$ 的幂级数展开式．

8．计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} \max \{1, y\} \sin ^{2}(x y) \mathrm{d} y$ ．

9．证明： $\displaystyle \sin x>\frac{2}{\pi} x, 0<x<\frac{\pi}{2}$ ．

10．$\left\{a_{n}\right\}$ 收玫当且仅当对任给的正整数 $p$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+p}-a_{n}\right|=0$ ，此命题是否正确？为什么？

1．计算曲线积分

$$
\int_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$

其中曲线 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ 与三坐标轴的交线，它的定向使得球面的上侧在曲线左侧．

2．设 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 由 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 和 $y \geq 1$ 围出，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{2 y-y^{2}-x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

3．设 $a>0, b>0$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(a^{2}+x^{2}\right)}{b^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

1．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)<0<f(b)$ ．证明：存在 $c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)=0$ ，且 $f(x)>0$ ， $x \in(c, b]$ 时。

2．设 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 为区域，$u(x, y), v(x, y)$ 在 $D$ 上连续可微，且在 $D$ 上满足

$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}, u^{2}(x, y)+v^{2}(x, y)=2026
$$

证明：$u(x, y), v(x, y)$ 在 $D$ 上是常数．

3．定义 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \cos \frac{1}{t} \mathrm{~d} t, x \in \mathbb{R}$ ，证明：$f(x)$ 在 $x=0$ 可导，且 $f^{\prime}(0)=0$ ．

4．设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2 \pi$ 为周期的连续函数，定义

$$
f_{n}(x)=\frac{1}{a_{n}} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\left(\cos \frac{t-x}{2}\right)^{2 n} \mathrm{~d} t, x \in \mathbb{R}, n=1,2,3, \cdots
$$

其中 $\displaystyle a_{n}=\int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2 n}\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x, n=1,2, \cdots$ ，证明：函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $f(x)$ ．

5．设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上非负递减，且 $\int_{1}^{+\infty} x^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{a+1} f(x)=0$ ．