📝 湖南师范大学 2023年数学分析真题

1．已知函数 $f(x)$ 在原点的邻域内二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 3 x}{x^{3}}+\frac{f(x)}{x^{2}}\right)=0$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=($

2．设 $a_{i} \geq 0(i=1, \cdots, p)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=(\quad)$

3．设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\int_{0}^{x} y f(x-y) d y$ ，则 $g^{\prime \prime}(x)=(\quad)$

4．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ 的和函数为（ ），收敛区间为（ ）

5．已知函数 $F(x, y)$ 可微，则曲面 $F(x-a z, y-b z)=0$ 的切平面与定方向 $\vec{v}=(\quad)$ 平行．

6．设函数 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数，$\displaystyle z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=(\quad)$

7．若广义积分 $\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{1-p} \ln x d x$ 收玫，则实数 p 的最大取值范围是（）

8． $\int_{-3}^{2} \min \left(2, x^{2}\right) d x=(\quad)$

9．函数 $f(x)=\pi-|x|(-\pi \leq x \leq \pi)$ 的 Fourier 级数为（ ）

10．曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}=(\quad)$ ，其中 $L$ 为曲线 $x^{2}-2 x+y^{2}=3$ ，方向取正向．

1．Riemann 函数

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{q}, \text { 当 } x=\frac{p}{q}(q>0, q \text { 和 } p \text { 为互质整数 } ; x=0 \text { 时 } q=1), \\
0, \text { 当 } x \text { 为无理数时 }
\end{array}\right.
$$

在 $(-\infty,+\infty)$ 中的哪些点连续，哪些点不连续

2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，并且 $\int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫。能否得到 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？若把条件＂一致连续＂改为＂连续且 $f(x) \geq 0$＂，能否得到 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？

3．若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，能否得到级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫？反之，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，能否得到正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛？

三、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq \alpha<1$（ $\displaystyle \alpha$ 为常数）．取 $\displaystyle x_{0} \in (-\infty,+\infty)$ ，令 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{n-1}\right), n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x^{*}$ 存在且 $\displaystyle x^{*}$ 是方程 $\displaystyle x=f(x)$ 的根．

二、讨论题（给出结论，认为正确的要证明，认为不正确的给出反例并验证，每题 10 分，共 30分）

五、（10 分）计算第二类曲面积分 $\displaystyle l=\iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$ ，其中 S 为锥面 $\displaystyle z^{2}= \frac{h^{2}}{a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right), 0 \leq z \leq h$, 方向取外侧．

六、（20 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上连续，且有连续的导数．

四、（10 分）证明函数

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\
0, & x^{2}+y^{2}=0
\end{array}\right.
$$

在点 $\displaystyle (0,0)$ 的邻域中连续，$\displaystyle f_{x}(x, y)$ 和 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 有界，但在点 $\displaystyle (0,0)$ 不可微．