第4章 导 数

例 2 设 $m \in \mathbb{N}$ ,试求函数 $f\left( x\right) = {x}^{m}$ 的导数.

例 3 设 $m \in \mathbb{N}$ ,试求函数 $f\left( x\right) = {x}^{-m}\left( {x \neq 0}\right)$ 的导数.

例 4 求幂函数 $f\left( x\right) = {x}^{\mu }\left( {x > 0}\right)$ 的导数 $(\mu \in \mathbb{Z}$ 的情形已见于例 1,2,3. 这里讨论 $\mu \in \mathbb{R}$ 的一般的情形).

例 5 求函数 $f\left( x\right) = \sin x$ 的导数.

例 6 求函数 $f\left( x\right) = \cos x$ 的导数.

例 7 求函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}$ 和 $g\left( x\right) = {a}^{x}\left( {a > 0}\right)$ 的导数.

例 8 求函数 $f\left( x\right) = \ln x$ 和 $g\left( x\right) = {\log }_{a}x$ 的导数 $\left( {x > 0}\right)$ .

例 10 考察函数 $f\left( x\right) = \left| x\right|$ 在 $x = 0$ 处是否可导 (见图 4-2).

例 11 考察函数 $g\left( x\right)$ 在 $x = 0$ 处是否可导,这里 $$ g\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x\sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$

例 2 中,为了考察函数 $p\left( x\right) = {x}^{m}$ 在 $x$ 点的可导性,我们将函数的增量 $$ p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) $$ 按 $h$ 的方幂展开: $$ p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) $$ $$ = m{x}^{m - 1}h + \frac{m\left( {m - 1}\right) }{2}{x}^{m - 2}{h}^{2} + \cdots + {h}^{m}. $$ 其实,为了考察可导性,并不需要了解 $h$ 的高次项的具体的形式,仅仅需要这样的信息: 它们是一些高于一次的项, 即 $$ p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) = m{x}^{m - 1}h + o\left( h\right) . $$ 由此可得 $$ \frac{p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) }{h} = m{x}^{m - 1} + \frac{o\left( h\right) }{h}, $$ 让 $h \rightarrow 0$ 即得到 $$ {p}^{\prime }\left( x\right) = m{x}^{m - 1}. $$ 定义 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $x$ 点邻近有定义,如果 $$ f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) = {Ah} + o\left( h\right) , $$ 其中 $A$ 与 $h$ 无关 (可以依赖于 $x$ ),那么我们就说函数 $f$ 在 $x$ 点可微. 定理 3 函数 $f$ 在 $x$ 点可导的充要条件是它在这点可微.

例 1 求函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}\sin x$ 的导数.

例 2 求函数 $\tan x$ 和 $\cot x$ 的导数.

例 3 求函数 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 的导数.

例 5 考察函数 $$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {x}^{2}\sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$ 我们看到,函数 $f\left( x\right)$ 在 $x = 0$ 处可导, $$ {f}^{\prime }\left( 0\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {0 + h}\right) - f\left( 0\right) }{h} $$ $$ = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}h\sin \frac{1}{h} = 0. $$ 但在 0 点的任意邻近,仍有 $x = \frac{1}{n\pi }$ ( $n$ 是绝对值充分大的整数) 使得 $f\left( x\right) = f\left( 0\right)$ . 虽说如此, 上面的分析仍给我们有益的启发. 其实只要把上面的表示方式稍做改变, 就能得到正确的证明. 定理 2 设函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点可导,函数 $g\left( y\right)$ 在 ${y}_{0} = f\left( {x}_{0}\right)$ 点可导,则复合函数 $\varphi \left( x\right) = g \circ f\left( x\right)$ 也在 ${x}_{0}$ 点可导,并且 $$ {\varphi }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) . $$

例 6 求 ${\left( \sin ax\right) }^{\prime },{\left( \tan bx\right) }^{\prime }$ 和 ${\left( {\mathrm{e}}^{cx}\right) }^{\prime }$ .

例 7 求 ${\left( \cos \left( x + b\right) \right) }^{\prime }$ 和 ${\left( \ln \left( x + c\right) \right) }^{\prime }$ .

例 8 求 ${\left( \sin {x}^{2}\right) }^{\prime }$ 和 ${\left( {\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\right) }^{\prime }$ .

例 9 试求函数 $\ln \left| x\right| \left( {x \neq 0}\right)$ 和函数 $\ln \left| {x + c}\right| \left( {x \neq - c}\right)$ 的导数.

例 10 求 ${\left( \ln \left| \frac{x - a}{x + a}\right| \right) }^{\prime }$ .

例 11 求 ${\left( {\mathrm{e}}^{\sin \left( {{x}^{2} + c}\right) }\right) }^{\prime }$ .

例 12 求 ${\left( \ln \left| \sin {x}^{2}\right| \right) }^{\prime }$ .

例 13 求 ${\left( \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\right) }^{\prime }$ .

例 14 求 ${\left( \ln \left( x + \sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}\right) \right) }^{\prime }$ .

例 15 试求幂-指数式 ${\left( u\left( x\right) \right) }^{v\left( x\right) }$ 的导数,这里 $u\left( x\right) > 0$ ,函数 $u$ 和 $v$ 在 $x$ 点可导.

例 17 求 $\psi \left( y\right) = \arcsin y$ 的导数.

例 18 求 $\psi \left( y\right) = \arccos y$ 的导数.

例 19 求 $\psi \left( y\right) = \arctan y$ 的导数.

例 20 考察由极坐标方程给出的曲线 $$ r = r\left( \theta \right) \text{ . } $$ 试求这曲线在某点 $\left( {r,\theta }\right)$ 的切线.

例 21 求由以下条件确定的隐函数 $y = y\left( x\right)$ 的导数: $$ {x}^{2} + {y}^{2} = 1,\; - 1 < x < 1,y > 0. $$

例 23 设 $y = {x}^{a}$ ,求 ${y}^{\left( n\right) }$ .

例 24 设 $y = {\mathrm{e}}^{\beta x}$ ,求 ${y}^{\left( n\right) }$ .

例 25 设 $y = \ln \left( {1 + x}\right)$ ,求 ${y}^{\left( n\right) }$ .

例 26 设 $y = \sin x$ ,求 ${y}^{\left( n\right) }$ .

例 1 设函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上有二阶导数. 如果 $$ {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$ 那么 $$ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}x + {C}_{1}. $$

例 2 设函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上有 $n + 1$ 阶导数. 如果 $$ {f}^{\left( n + 1\right) }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$ 那么 $$ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}{x}^{n} + {C}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {C}_{n}. $$

例 3 设有两种均匀介质 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{{II}}$ ,光在介质 $\mathrm{I}$ 中的速度是 ${c}_{1}$ ,光在介质 $\mathrm{{II}}$ 中的速度是 ${c}_{2}$ ,两种介质的分界面是平面. 如果有一束光从介质 $\mathrm{I}$ 中的 ${A}_{1}$ 点到介质 $\mathrm{{II}}$ 中的 ${A}_{2}$ 点,那么这束光走怎样的路线?