常数项级数的概念（级数、部分和、收敛、发散）

### 第120题 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}+a_{n}}{2}$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right)$ 发散，则级数 （A）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛。 （B）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛。 （C）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （D）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。

### 第123题 要使级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 收敛，只需 （A）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。 （B）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛． （C）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收敛。 （D）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 绝对收敛。 衦估

### 第125题 设 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n^{2} a_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ （A）条件收敛。 （B）绝对收敛． （C）发散． （D）玫散性不定． 建设荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第173题 设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q\left(a_{n}>0\right)$ ，试证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 在 $q>1$ 时收敛，在 $q<1$ 时发散． 祥佔

### 第174题 设偶函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内有二阶连续导数，$f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ ，试证级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛。 祥佔

### 第260题 设随机变量 $X$ 的概率分布 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{a}{k(k+1)}, k=1,2, \cdots$ ，其中 $a$ 为常数．$X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，已知 $\displaystyle F(b)=\frac{3}{4}$ ，则 $b$ 的取值范围应为 $\_\_\_\_$ ．

### 第280题 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\mu$ 为已知，$\sigma^{2}$ 未知，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, Q^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ ，对假设 $H_{0}: \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}$ ，采用 $\chi^{2}$ 检测，统计量为 $\_\_\_\_$。 ## 选择题

### 第293题 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立同分布，已知 $$ P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}, k=1,2, \cdots, 0Y\}$ 的值为 （A）$\displaystyle \frac{p}{2-p}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1-p}{2-p}$ ． （C）$\displaystyle \frac{p}{1-p}$ ． （D）$\displaystyle \frac{2 p}{1-p}$ ．

### 第302题 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是取自正态总体 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记 $$ S_{1}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, S_{2}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, S_{3}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, S_{4}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, $$ 则可以作出服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布统计量为 （A）$\displaystyle t=\frac{\bar{X}}{S_{1} / \sqrt{n-1}}$ ． （B）$\displaystyle t=\frac{\bar{X}}{S_{2} / \sqrt{n-1}}$ ． （C）$\displaystyle t=\frac{\bar{X}}{S_{3} / \sqrt{n}}$ ． （D）$\displaystyle t=\frac{\bar{X}}{S_{4} / \sqrt{n}}$ ．

### 第304题 已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^{2} . X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，则可以作出 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量为 （A）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ．

### 第307题 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的样本，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^{2}>0$ 为未知参数，样本均值为 $\bar{X}$ ，则 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量为 （A）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ． （B）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ． （C）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ ． （D）$\displaystyle \hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ ． 建设容题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 管题 区1或

### 第308题 设 $\hat{\theta}$ 为末知参数 $\theta$ 的无偏、一致估计，且 $D \hat{\theta}>0$ ，则 $\hat{\theta}^{2}$ 是 $\theta^{2}$ 的 （A）无偏，一致估计． （B）无偏，非一致估计． （C）非无偏，一致估计． （D）非无偏，非一致估计．

### 第309题 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X \sim P(\lambda)$ 的简单随机样本，则可以构造参数 $\lambda^{2}$ 的无偏估计量为 （A）$\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(X_{i}-1\right)$ ． （B）$\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ． （C）$\displaystyle T=\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2}$ ． （D）$\displaystyle T=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{j}\right)^{2}$ ．

### 第310题 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的样本，其中 $\mu$ 和 $\sigma^{2}$ 均未知，记 $\bar{X}$ 和 $S^{2}$分别为样本均值和方差，当 $H_{0}: \mu=\mu_{0}$ 成立时，有 （A）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma} \sqrt{n} \sim N(0,1)$. （B）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S} \sqrt{n} \sim t(n-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S} \sqrt{n} \sim t(n)$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{0}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$ ． ## 解答题

### 第323题 设 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，试证： （1）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}+n(\bar{X}-\mu)^{2} ;$ （2）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-n \bar{X}^{2}$ ． ##

### 第324题 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，记 $\displaystyle Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\mu\right|$ ，试证：（1）$\displaystyle E(Y)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sigma$ ； （2）$\displaystyle D(Y)=\left(1-\frac{2}{\pi}\right) \frac{\sigma^{2}}{n}$ ． 建衩答题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第325题 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{9}$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y_{1}=\frac{1}{6}\left(X_{1}+\cdots+X_{6}\right), Y_{2}= \frac{1}{3}\left(X_{7}+X_{8}+X_{9}\right), S^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i=7}^{9}\left(X_{i}-Y_{2}\right)^{2}, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_{1}-Y_{2}\right)}{S}$ ，求统计量 $Z$ 服从的分布及参数． 彎题 区1或

### 第326题 设总体 $X \sim U(a, b), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，求未知参数 $a$ 和 $b$ 的矩估计量．