← 返回知识点列表
二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）
第 1 题
### 【基础篇】第1题（选择题）
1．设 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ，曲线 $l_{1}: x^{2}+y^{2}-x y=1, l_{2}: x^{2}+y^{2}-x y=2$ ，直线 $\displaystyle l_{3}: y=\frac{\sqrt{3}}{3} x, l_{4}: y=\sqrt{3} x$ ．区域 $D_{1}$ 由 $l_{1}, l_{2}, x=0, y=0$ 围成，$D_{2}$ 由 $l_{1}, l_{2}, l_{3}, y=0$ 围成，$D_{3}$ 由 $l_{1}, l_{2}, l_{4}, x=0$ 围成，则对于 $I_{1}=\iint_{D_{i}} \sqrt[3]{y-x} \mathrm{~d} \sigma(i=1,2,3)$ ，有 ．
（A）$I_{1}
第 10 题
### 【基础篇】第10题（填空题）
10．已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $\displaystyle r=\sin 3 \theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3}\right), D$ 为曲线 $L$ 围成的区域，则 $\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 10 题
### 【基础篇】第10题（解答题）
10．设 $\sum$ 是曲面 $x=\sqrt{1-3 y^{2}-3 z^{2}}$ 的前侧，计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{3}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
第 10 题
### 【强化篇】第10题（解答题）
10．设 $P(x, y, z)$ 为球面 $\Sigma: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 z=0$ 上的动点，球面 $\Sigma$ 在点 $P(x, y, z)$ 处的法线与平面 $x+z=0$ 平行．
（1）求点 $P$ 的轨迹 $\Gamma$ 的方程；
（2）计算曲线积分 $\oint_{\Gamma} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z$ ，从 $z$ 轴正向看下去，$\Gamma$ 取逆时针方向。
第 10 题
### 【基础篇】第10题（选择题）
10．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且都服从参数为 1 的指数分布．若
$$
Z= \begin{cases}2 X, & X \geqslant Y \\ Y-1, & X
第 10 题
### 【基础篇】第10题（选择题）
10．设 1 与 -1 是矩阵
$$
$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}$
3 & 1 & -2 \\
-a & -1 & a \\
4 & 1 & -3
$\end{array}\right]$
$$
的特征值，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化，则 $a=$ ．
（A）-1
（B） 0
（C） 1
（D） 2
第 11 题
### 【基础篇】第11题（填空题）
11．已知平面区域 $D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant y,\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \leqslant y^{4}\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
第 11 题
### 【强化篇】第11题（填空题）
11．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iint_{D}(x-2 y)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 11 题
### 【基础篇】第11题（填空题）
11．攼 $\Sigma$ 为空间区域 $\left\{(x, y, z) \mid x^{g}+2 y^{2} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\right\}$ 表面的外假，则曲面积分 $\oiint_{x}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+ y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} \tau+z^{2} \mathrm{~d} \tau \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 11 题
### 【强化篇】第11题（解答题）
11．已知 $\sum$ 为曲面 $4 x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0)$ 的上侧（见图），$L$ 为 $\Sigma$ 的边界曲线，其方向与 $\Sigma$ 的正法向量满足右手法则，计算曲线积分
$$
I=\oint_{L}\left(y z^{2}-\cos z\right) \mathrm{d} x+2 x z^{2} \mathrm{~d} y+(2 x y z+x \sin z) \mathrm{d} z
$$
第 11 题
### 【基础篇】第11题（解答题）
11．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -a \\ 2 & a & -2 \\ -a & -1 & 1\end{array}\right]$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，并讨论 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对角化．
第 113 题
### 第113题
计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
（－）纠错笔记
第 113 题
## 第113题 (高等数学 - 填空题)
计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
（－）纠错笔记
第 114 题
### 第114题
设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区
## －纠错笔记
第 114 题
## 第114题 (高等数学 - 填空题)
设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区
## －纠错笔记
第 115 题
### 第115题
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
□
第 115 题
## 第115题 (高等数学 - 填空题)
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
□
第 116 题
### 第116题
设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 116 题
## 第116题 (高等数学 - 填空题)
设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 118 题
### 第118题
设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
－纠错笔记