← 返回知识点列表
二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）
第 118 题
## 第118题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
－纠错笔记
第 119 题
### 第119题
设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
第 119 题
## 第119题 (高等数学 - 填空题)
设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
第 12 题
### 【基础篇】第12题（填空题）
12．设 $D$ 是第一象限内由三条曲线 $y=x^{2}, y^{2}=x, x^{2}+y^{2}=1$ 所围成的以原点为一个顶点的曲边三角形，化二重积分为累次积分（先积 $y$ ，后积 $x$ ），则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
第 12 题
### 【强化篇】第12题（解答题）
12．设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right.\right\}$ ，常数 $a>0, b>0, a \neq b$ ，计算
$$
I=\iint_{D}\left[(x-1)^{2}+(2 y+3)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
第 12 题
### 【基础篇】第12题（填空题）
12．设 $\Sigma$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+2 z^{2}=1(z \geqslant 0)$ 的上卯，则 $\iint_{\Sigma} \sqrt{1-x^{2}-2 z^{2}} d x d y=$ $\_\_\_\_$。
第 120 题
### 第120题
设积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
第 120 题
## 第120题 (高等数学 - 填空题)
设积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
第 13 题
### 【基础篇】第13题（解答题）
13．设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{3\left(1-x^{2}\right)}$ 与直线 $y=\sqrt{3} x$ 及 $y$ 轴所围成．计算二重积分
$$
$\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
第 13 题
### 【强化篇】第13题（解答题）
13．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}+y^{2}}{|x|+|y|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y)|1 \leqslant|x|+|y| \leqslant 2\}$ ．
第 13 题
### 【基础篇】第13题（选择题）
13．设曲线 $y=y(x)$ 上点 $P(0,4)$ 处的切线垂直于直线 $x-2 y+5=0$ ，且该曲线满足微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ，则此肺线方程为 ．
（A）$\displaystyle y=\frac{9}{2} x \mathrm{c}^{-9}$
（B）$\displaystyle y=\left(4+\frac{9}{2} x\right) \mathrm{e}^{-x}$
（C）$y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{-\cdots}$
（D）$y=2(x+2) \mathrm{e}^{-x}$
第 14 题
### 【基础篇】第14题（解答题）
14．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ，计算
$$
$\displaystyle \iint_{D} \frac{x \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$$
第 14 题
### 【基础篇】第14题（解答题）
14．计算曲线积分 $I=\oint_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x-z x \mathrm{~d} y+3 x y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 y=0, \\ 2 y-z+1=0,\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往下看、 $\Gamma$ 为遡时针方向。
第 14 题
### 【强化篇】第14题（填空题）
14．设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+4 y^{2} \leqslant 4\right\}$ 上二阶偏导数连续，$\partial D$ 是 $D$ 取正向的边界曲线，则 $\oint_{\partial D}\left[f_{x}^{\prime}(x, y)-y\right] \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 15 题
### 【基础篇】第15题（填空题）
15．设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0$ ，且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\int_{-\infty}^{0} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 15 题
### 【强化篇】第15题（填空题）
15．设 $y^{\prime}=f(x, y)$ 是一条简单封闭曲线 $L$（取正向），$f(x, y) \neq 0$ ，其所围区域记为 $D, D$ 的面积为 $a, a>0$ ，则 $\displaystyle I=\oint_{L} x f(x, y) \mathrm{d} x-\frac{y}{f(x, y)} \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
第 16 题
### 【基础篇】第16题（解答题）
16．计算二重积分 $\iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant y\right\}$ ．
第 16 题
### 【强化篇】第16题（解答题）
16．计算二重积分 $\iint_{D}|x-|y|| \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, x \leqslant 1\right\}$ ．
第 16 题
### 【强化篇】第16题（解答题）
16．设曲线 $L$ 是 $x O y$ 平面上有界单连通闭区域 $D$ 的正向边界，当曲线 $L$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}=1$ 时， $\displaystyle I=\oint_{L}\left(a x+\frac{a}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} y+\left(\frac{1}{2} y \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}-\frac{a}{3} y^{3}\right) \mathrm{d} x$ 的值最大，求：
（1）常数 $a$ 的值；
（2）$I$ 的最大值．
第 16 题
### 【强化篇】第16题（选择题）
16．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 在椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1(a>0, b>0)$ 上服从均匀分布，则（ ）。
（A）$X$ 在区间 $[-a, a]$ 上均匀分布
（B）$X$ 和 $Y$ 必不相关
（C）$Y$ 在区间 $[-b, b]$ 上均匀分布
（D）$X$ 和 $Y$ 相互独立