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二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）
第 266 题
### 第266题
设积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$
（A）$\pi$ ．
（B）$-\pi$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ．
第 266 题
## 第266题 (高等数学 - 选择题)
设积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$
（A）$\pi$ ．
（B）$-\pi$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ．
第 267 题
### 第267题
设积分区域 $D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
（A）$\displaystyle \frac{4}{15}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{8}{15}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{4}{5}$ ．
第 267 题
## 第267题 (高等数学 - 选择题)
设积分区域 $D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
（A）$\displaystyle \frac{4}{15}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{8}{15}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{4}{5}$ ．
第 268 题
### 第268题
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ．
第 268 题
## 第268题 (高等数学 - 选择题)
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ．
第 27 题
### 【强化篇】第27题（解答题）
27．设 $P=2 x z f(y+z)-y^{3}, Q=2 y z f(y+z)+x^{3}, R=\int_{0}^{x^{2}+y^{2}} f(z-t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f$ 具有一阶连续导数．$L$ 为曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $y+z=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往下看为逆时针方向，计算
$$
$\oint_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$
$$
第 270 题
### 第270题
设 $\displaystyle I_{1}=\iint_{D} \frac{x+y}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{2}=\iint_{D} \sqrt{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sqrt[3]{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由不等式 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2$ 所确定，则
（A）$I_{2}
第 270 题
## 第270题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle I_{1}=\iint_{D} \frac{x+y}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{2}=\iint_{D} \sqrt{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sqrt[3]{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由不等式 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2$ 所确定，则
（A）$I_{2}
第 271 题
### 第271题
设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则
（A）$I_{1}
第 271 题
## 第271题 (高等数学 - 选择题)
设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则
（A）$I_{1}
第 272 题
### 第272题
设积分区域
$$
$\begin{gathered}$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\
D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\}
\end{gathered}
$$
记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$
（A）$I_{1}$ ．
（B）$I_{2}$ ．
（C）$I_{3}$ ．
（D）$I_{4}$ ．
答题 区
第 272 题
## 第272题 (高等数学 - 选择题)
设积分区域
$$
$\begin{gathered}$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\
D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\}
\end{gathered}
$$
记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$
（A）$I_{1}$ ．
（B）$I_{2}$ ．
（C）$I_{3}$ ．
（D）$I_{4}$ ．
答题 区
第 274 题
### 第274题
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围区域，则 $f(x, y)$ 等于
（A）$x y$ ．
（B） $2 x y$ ．
（C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ．
（D）$x y+1$ ．
第 274 题
## 第274题 (高等数学 - 选择题)
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围区域，则 $f(x, y)$ 等于
（A）$x y$ ．
（B） $2 x y$ ．
（C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ．
（D）$x y+1$ ．
第 275 题
### 第275题
设 $g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $\displaystyle f(1)=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{2023}{2}$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t$ 的值为
（A）0．
（B） 2022 ．
（C） 2023 ．
（D） 2100 ．
第 28 题
### 【强化篇】第28题（填空题）
28．设 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, \alpha, \beta$ 分别为曲面 $\Sigma$ 的外法线向量与 $x$ 轴，$z$ 轴的夹角，则 $\iint_{\Sigma}\left(|x y| \cos \alpha+z^{2} \cos \beta\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
第 29 题
### 【强化篇】第29题（填空题）
29．设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2\right\}$ ，则 $\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
第 29 题
### 【强化篇】第29题（解答题）
29．设曲面 $\Sigma: z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant-3)$ ，取上侧，求曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} y z \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2} y^{2}-2 x y \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
第 3 题
### 【基础篇】第3题（选择题）
3．设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1\right\}, I_{i}=\iint_{D} f_{i}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, f_{i}(x, y)=(x+y)^{i}(i=1$ ， $2,3)$ ，则 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 之间的大小顺序为 ．
（A）$I_{3}