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二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）
第 645 题
## 第645题 (高等数学 - 选择题)
设 $C_{k}(k=1,2,3)$ 分别为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=2$ ，其方向为逆时针方向，$I_{k}=\oint_{C_{k}}\left(3 y x^{2}+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y(k=1,2,3)$ ．则
（A）$I_{1}
第 648 题
### 第648题
在力场 $\displaystyle \boldsymbol{F}=\frac{y^{3} \boldsymbol{i}-x^{3} \boldsymbol{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的作用下，一质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 逆时针运动一圈所做的功为
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3 \pi}{2}$ ．
（C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{3 \pi}{2}$ ．
第 648 题
## 第648题 (高等数学 - 选择题)
在力场 $\displaystyle \boldsymbol{F}=\frac{y^{3} \boldsymbol{i}-x^{3} \boldsymbol{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的作用下，一质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 逆时针运动一圈所做的功为
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3 \pi}{2}$ ．
（C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{3 \pi}{2}$ ．
第 649 题
### 第649题
设 $L$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=1, \boldsymbol{n}$ 为 $L$ 的外法线向量，$\displaystyle u(x, y)=\frac{1}{12}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{~d} s$ 等于
（A） 0 ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\pi$ ．
（D）$-\pi$ ．
## －纠错笔记
第 649 题
## 第649题 (线性代数 - 选择题)
设 $L$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=1, \boldsymbol{n}$ 为 $L$ 的外法线向量，$\displaystyle u(x, y)=\frac{1}{12}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{~d} s$ 等于
（A） 0 ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\pi$ ．
（D）$-\pi$ ．
## －纠错笔记
第 653 题
### 第653题
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是
（A） $\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（B） $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（C） $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（D） $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
答题 区
第 653 题
## 第653题 (高等数学 - 选择题)
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是
（A） $\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（B） $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（C） $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（D） $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
答题 区
第 654 题
### 第654题
设有曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向，则 $\oint_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 等于
（A）$\sqrt{2} \pi a^{2}$ ．
（B）$-\sqrt{2} \pi a^{2}$ ．
（C）$-\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
（D）$\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
第 654 题
## 第654题 (高等数学 - 选择题)
设有曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向，则 $\oint_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 等于
（A）$\sqrt{2} \pi a^{2}$ ．
（B）$-\sqrt{2} \pi a^{2}$ ．
（C）$-\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
（D）$\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
第 7 题
### 【强化篇】第7题（解答题）
7．设有界区域 $D$ 是由圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 和直线 $y=x$ 以及 $x$ 轴所围成的在第一象限的图形，计算二重积分 $\iint_{D} e^{(x+y)^{2}}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第 7 题
### 【强化篇】第7题（选择题）
7．以 $y=x$ 与 $y=x \mathrm{e}^{-2 r}$ 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程为 ．
（A）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}=0$
（B）$y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$
（C）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime \prime}=0$
（D）$y^{(4)}+4 y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}=0$
第 7 题
### 【基础篇】第7题（选择题）
7．使得 $\oint_{L}\left(2 y^{3}-3 y\right) \mathrm{d} x-x^{3} \mathrm{~d} y$ 的值最大的平面正向边界曲线 $L$ 为 ．
（A） $3 x^{2}+y^{2}=1$
（B） $2 x^{2}+y^{2}=1$
（C）$x^{2}+3 y^{2}=1$
（D）$x^{2}+2 y^{2}=1$
第 8 题
### 【基础篇】第8题（解答题）
8．设长轴与短轴分别为 $2 a$ 及 $2 b$ 的半椭圆形薄板铅直沉入水中，其短轴与水面平行且位于水面下 $c$ 处，记水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为 $g$ ．求水对薄板的压力．
## 第13章 多元函数微分学
第 8 题
### 【强化篇】第8题（填空题）
8．设
$$
D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2}<1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\},
$$
则积分 $J=\iint_{D}\left(1-12 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 8 题
### 【基础篇】第8题（解答题）
8．设随机变量 $X$ 在区间 $(a, b)$ 上随机取值，当观察到 $X=x(a
第 9 题
### 【强化篇】第9题（解答题）
9．设平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{\sqrt{3}} x \leqslant y \leqslant \sqrt{3} x\right., 1 \leqslant x \leqslant 2\right\}$ ，求二重积分
$$
I=\iint_{D} y \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
第 9 题
### 【基础篇】第9题（解答题）
9．设 $D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界单连通闭区域，$I(D)=\iint_{D}\left(1-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 取得最大值的积分域记为 $D_{1}$ ．
（1）求 $I\left(D_{1}\right)$ 的值；
（2）计算 $\displaystyle \oint_{\partial D_{1}} \frac{\left(x \mathrm{e}^{x^{2}+2 y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \mathrm{e}^{x^{2}+2 y^{2}}-x\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+2 y^{2}}$ ，其中 $\partial D_{1}$ 是 $D_{1}$ 的正向边界．