二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}, & -1 \leqslant x<1,0 \leqslant y<2, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 则二次型 $g\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+Y x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 X x_{1} x_{3}$ 正定的概率为（ ）． （A）$\displaystyle \frac{2}{3}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{4}$

### 【强化篇】第30题（解答题） 30．设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2 \mathrm{e}\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} x\left|y-\mathrm{e}^{x}\right| \mathrm{d} \sigma$ ．

### 【强化篇】第30题（选择题） 30．以函数 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}, y_{2}=\mathrm{e}^{x} \sin x$ 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是（ ）。 （A）$y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-2 y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ （C）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-2 y=0$ （D）$y^{(4)}-4 y^{\prime \prime \prime}+7 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+2 y=0$

### 【强化篇】第31题（解答题） 31．设 $f(x, y)=\max \left\{\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 1\right\}, D=\{(x, y)| | x \mid \leqslant y \leqslant 1\}$ ．求 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ．

### 【强化篇】第31题（解答题） 31．设函数 $y(x)$ 满足微分方程 $y^{(1)}-y^{\prime \prime}=0$ ，且当 $x \rightarrow 0$ 时 $y(x) \sim x^{3}$ ．求 $y(x)$ ．

### 【强化篇】第32题（填空题） 32．设函数 $y=y(. x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0$ ，且在 $x=0$ 处取得极值 -1 ，则曲线 $y=y(x)$的拐点坐标为 $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第33题（解答题） 33．设平面区域 $D=\{(r, \theta) \mid r \leqslant 1, r \leqslant 2 \cos \theta, \sin \theta \geqslant 0\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} r^{2}\left(\cos \theta+\frac{1}{2} r \sin 2 \theta\right) \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta$ ．

### 【强化篇】第34题（选择题） 34．设函数 $f(u)$ 连续，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(\quad)$ ． （A） $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x y) \mathrm{d} y$ （B） $2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x y) \mathrm{d} x$ （C） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f\left(r^{2} \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$ （D） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f\left(r^{2} \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$

### 【强化篇】第35题（填空题） 35．设 $D$ 是由直线 $y=x, x=1$ 及 $x$ 轴所围成的平面区域，则 $\displaystyle \iint_{D} x \sin \frac{y}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第36题（解答题） 36．设平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant y, x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{y}{2}\right\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

### 【强化篇】第36题（选择题） 36．若某三阶常系数齐次线性微分方程具有特解 $y=2 x \mathrm{e}^{x}$ 与 $y=3 \mathrm{e}^{-2 x}$ ，则该微分方程为（ ）。 （A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}-4 y=0$ （C）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0$ （D）$y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$

### 【强化篇】第37题（解答题） 37．计算 $\iint_{D}\left[x+y+\left(\mathrm{e}^{x} \cos x-\mathrm{e}^{y} \cos y\right) \sin (x y)\right] \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid x+y \geqslant 0, x \leqslant 1, y \leqslant 1\}$ ．

### 【强化篇】第38题（解答题） 38．设平面区域 $D=\left\{(x, y)\left|x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|y| \leqslant|x|\right\}\right.$ ，计算 $$ $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma .$ $$

### 【强化篇】第39题（解答题） 39．设连续函数 $f(x)$ 满足 $$ f(x)=x \iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} \sigma+x^{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+x^{3} $$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+y^{2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right.\right\}$ ，求 $f(x)$ 的表达式．

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设有半圆形板：$x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}(y \geqslant 0)$ ，它在点 $P(x, y)$ 的密度与点 $P$ 到原点的距离成正比，则半圆形板的重心坐标为（ ）。 （A）$\displaystyle \left(0, \frac{\pi a}{3}\right)$ （B）$\displaystyle \left(0, \frac{\pi a}{2}\right)$ （C）$\displaystyle \left(0, \frac{4 a}{3 \pi}\right)$ （D）$\displaystyle \left(0, \frac{3 a}{2 \pi}\right)$