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二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）
第 23 题
### 【基础篇】第23题（解答题）
23．计算二重积分 $I=\iint_{D} x\left[1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由曲线 $y=x^{3}$ 及直线 $y=1, x=-1$围成，$f(u)$ 为连续函数．
第 24 题
### 【基础篇】第24题（解答题）
24．计算 $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 所包围的在第一象限内的区域。
第 24 题
### 【强化篇】第24题（解答题）
24．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4,(x-1)^{2}+y^{2} \geqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ，计算
$$
$\iint_{D}\left(x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$
$$
第 25 题
### 【强化篇】第25题（填空题）
25．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
第 25 题
### 【强化篇】第25题（解答题）
25．求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=(3 x+2) \mathrm{e}^{-x}$ 的通解。
第 25 题
### 【强化篇】第25题（解答题）
25．设 $a, b$ 为实数，函数 $f(x, y)=a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向 $l=i+j$ 的方向导数最大，最大值为 $2 \sqrt{2}$ ．若 $\Sigma$ 为曲面 $x^{2}+z^{2}=2 z$ 被曲面 $z=\sqrt{f(x, y)}$ 所截取的部分．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）计算 $\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S$ ．
第 256 题
### 第256题
设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于
（A） $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} \sigma$ ．
（B） $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} \sigma$ ．
（C） $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ．
（D） 0 ．
第 256 题
## 第256题 (高等数学 - 选择题)
设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于
（A） $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} \sigma$ ．
（B） $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} \sigma$ ．
（C） $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ．
（D） 0 ．
第 26 题
### 【强化篇】第26题（解答题）
26．设平面区域 $D=\left\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 1\}\right.$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} \frac{|y|}{e|x|+|y|} \mathrm{d} \sigma$ ．
第 26 题
### 【强化篇】第26题（选择题）
26．设 $\Sigma$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 介于平面 $z=0, z=2$ 之间的部分，方向向外．记 $I_{1}=\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} S, I_{2}= \iint_{\Sigma}^{2} z^{2} \mathrm{~d} S, I_{3}=\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ，则 $(\quad)$ 。
（A）$I_{1}>I_{2}>I_{3}$
（B）$I_{2}>I_{1}>I_{3}$
（C）$I_{3}>I_{1}>I_{2}$
（D）$I_{3}>I_{2}>I_{1}$
第 261 题
### 第261题
设区域 $D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$
（A） 2 ．
（B） 3 ．
（C） 4 ．
（D） 6 ．
第 261 题
## 第261题 (高等数学 - 选择题)
设区域 $D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$
（A） 2 ．
（B） 3 ．
（C） 4 ．
（D） 6 ．
第 262 题
### 第262题
设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$
（A） $6 \pi$ ．
（B） $8 \pi$ ．
（C） $10 \pi$ ．
（D） $12 \pi$ ．
（4）纠错笔记
第 262 题
## 第262题 (高等数学 - 选择题)
设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$
（A） $6 \pi$ ．
（B） $8 \pi$ ．
（C） $10 \pi$ ．
（D） $12 \pi$ ．
（4）纠错笔记
第 263 题
### 第263题
设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分
$\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
第 263 题
## 第263题 (高等数学 - 选择题)
设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分
$\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
第 264 题
### 第264题
设积分区域 $D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ．
## －纠错笔记
第 264 题
## 第264题 (高等数学 - 选择题)
设积分区域 $D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ．
## －纠错笔记
第 265 题
### 第265题
设积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
（A） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
（B） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
（C） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
答题 区
第 265 题
## 第265题 (高等数学 - 选择题)
设积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
（A） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
（B） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
（C） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
答题 区