二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）

### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{3} \leqslant y \leqslant 1,-1 \leqslant x \leqslant 1\right\}, f(x)$ 是定义在 $[-a, a](a \geqslant 1)$ 上的任意连续函数，求 $\iint_{D}[(x+1) f(x)+(x-1) f(-x)] \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

### 【强化篇】第17题（解答题） 17．计算二重积分 $\iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-\sqrt{2}(x+y)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．

### 【基础篇】第17题（选择题） 17．微分方程 $\displaystyle 4 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{\frac{2}{2} x}\left(3 x^{2}+2\right)$ 的特解形式为 ． （A）$\displaystyle A x^{2}+B x+C+D \mathrm{e}^{\frac{2}{2} x}$ （B）$\displaystyle \left(A x^{2}+B x+C\right) \mathrm{e}^{\frac{3}{2} x}$ （C）$\displaystyle x\left(A x^{2}+B x+C\right) e^{\frac{3}{2} x}$ （D）$\displaystyle x^{2}\left(A x^{2}+B x+C\right) \mathrm{e}^{\frac{3}{2} x}$

### 【强化篇】第17题（解答题） 17．求 $\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限部分的边界线。从球心看 $L, L$ 为逆时针方向。

### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，计算 $\iint_{D}|x y-1| \mathrm{d} \sigma$ ．

### 【基础篇】第19题（解答题） 19．计算 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 2 x\right\}$ ， $$ f(x, y)= \begin{cases}y, & 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$

### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+y^{2} \geqslant 1,(x-2)^{2}+y^{2} \leqslant 4, y \geqslant x\right\}$ ，计算 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ．

### 【基础篇】第19题（解答题） 19．求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=2\left(3 x^{2}-2\right) \mathrm{e}^{x}$ 的通解．

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $D=\left\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 3\}, D_{k}(k=1,2,3,4)\right.$ 是 $D$ 的第 $k$ 象限部分，$I_{k}=\iint_{D_{k}} \sin (x- y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则（ ）． （A）$I_{1}>0$ （B）$I_{2}>0$ （C）$I_{3}>0$ （D）$I_{4}>0$

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $A$ 为 3 阶实对称方阵，$r(E-A)=1$ ，且 $A^{2}+2 A=3 E$ ，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\top} A x$ 的规范形为（ ）。 （A）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$ （B）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （C）$z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （D）$-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

### 【基础篇】第20题（解答题） 20．设平面区域 $D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{-(x+y)}}{\sqrt{x y}} \mathrm{~d} \sigma$ ．

### 【基础篇】第21题（解答题） 21．已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_{D}\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

### 【强化篇】第21题（解答题） 21．设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{\pi}, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{\pi}\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} \sin \left(\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}\right) \mathrm{d} \sigma$ ．

### 【强化篇】第21题（解答题） 21．已知有界闭区域 $\Omega$ 由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与平面 $z=1$ 围成，计算三重积分 $$ I=\iiint_{\Omega}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$

### 第218题 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为 （A）$y=\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．

## 第218题 (高等数学 - 选择题) 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为 （A）$y=\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．

### 【基础篇】第22题（解答题） 22．计算二重积分 $\iint_{D}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant x+y\right\}$ ．

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设 $\Sigma$ 是由直线 $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y=0\end{array}\right.$ 绕直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=t,(t \text { 为参数 }) \text { 旋转一周得到的曲面，} \Sigma_{1} \text { 是 } \Sigma \text { 介于平面 } x+ \\ z=t\end{array}\right. y+z=0$ 与 $x+y+z=1$ 之间部分的外侧．计算曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma_{1}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+1) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . $$

### 第222题 具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{-x}, y_{2}=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_{3}=3 \mathrm{e}^{x}$ 的三阶常系数齐次线性微分方程是 （A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ． （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ． （C）$y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ． （D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．

## 第222题 (高等数学 - 选择题) 具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{-x}, y_{2}=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_{3}=3 \mathrm{e}^{x}$ 的三阶常系数齐次线性微分方程是 （A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ． （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ． （C）$y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ． （D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．