定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）

### 第11题 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第120题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+a, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处 （A）极限存在但不连续． （B）连续但不可导． （C）可导． （D）是否可导与 $a$ 的取值有关．

### 第121题 设 $g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right), 0 \leqslant x<1, \\ \frac{1}{3}(x+1), 1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 则 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内 （A）单调增加． （B）有跳跃间断点 $x=1$ ． （C）有可去间断点 $x=1$ ． （D）连续． $\stackrel{\text { si }}{\text { 错荅 }}$ 熟练 还可以 筆估 熟练 $]$ 还可以 $]$ 有点难 $[$ 不会

### 第13题 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n+2}+\cdots+\frac{n}{n+n}\right) \sin \frac{\pi}{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第130题 下列关于反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{a}\right)} \mathrm{d} x$ 的结论正确的是 （A）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都发散． （B）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都收敛． （C）当且仅当 $\alpha=0$ 时，该反常积分收敛． （D）当且仅当 $\alpha \neq 0$ 时，该反常积分收敛． 建议器题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第131题 设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续可导，且广义积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{1}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=$ （A） 1 ． （B） 0 ． （C）$+\infty$ ． （D）-1 ．

### 第132题 下列结论中正确的是 （A） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都收敛。 （B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都发散． （C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散． （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛。 建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第134题 关于 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{|x|} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ，下列结论正确的是 （A）取值为零． （B）取正值． （C）发散． （D）取负值． 建议答题时问

### 第146题 已知函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)-2 x \Delta x+2 y \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0$ ， $\Delta y \rightarrow 0$ 且 $f(0,0)=2$ ．则 $f(x, y)$ 在圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值和最小值分别为 （A）$-1,0$ ． （B） 0,1 ． （C） 3,2 ． （D） 3,1 ．

### 第16题 $$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$ $$ $\_\_\_\_$ ．