7.3 微分方程的验证及变量替换

1．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle z=\frac{y}{f\left(x^{2}-y^{2}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数，证明 $\displaystyle \frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=y f\left(\frac{z}{y}\right)$ 所确定，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，试证：$\displaystyle \left(x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+2 x y \frac{\partial z}{\partial y}=2 x z$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续可导函数，证明 $\displaystyle z=x^{n} f\left(\frac{y}{x^{2}}\right)$ 满足方程：$\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+2 y \frac{\partial z}{\partial y}=n z$ 。（山东科技 2005，深圳大学2009（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle \varphi$ 是连续可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数，证明由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所确定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y$ 。

2．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \varphi(s, t)$ 具有一阶连续偏导数，对任 意实 数 $\displaystyle \alpha, \beta, u=x^{n} \varphi\left(\frac{y}{x^{\alpha}}, \frac{z}{x^{\beta}}\right)$ ，试 证 明： $\displaystyle x \frac{\partial u}{\partial x}+\alpha y \frac{\partial u}{\partial y}+\beta z \frac{\partial u}{\partial z}=n u$（ $\displaystyle n$ 为自然数）．
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满 足 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ ，其 中 $\displaystyle z(x, y), F(u, v)$ 均可微，试证明： $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z-x y$ 。
（3）设 $\displaystyle z=f(x, y, u)=x y+x F(u)$ ，其中 $\displaystyle F(u)$ 可微，$\displaystyle u=\frac{y}{x}$ ，试证 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$ ．

3．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle u=f(z)$ ，其中 $\displaystyle z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f, \varphi$ 为可微函数．证明：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\varphi(z) \frac{\partial u}{\partial x}$ ．

（2）设函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ 由方程 $\displaystyle u=y+x \varphi(u)$ 确定，证明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\varphi^{2}(u) \frac{\partial u}{\partial y}\right)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle u=f(z), z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f(z), \varphi(z)$ 任 意 阶 可 微。试 证 明： $\displaystyle \frac{\partial^{n} u}{\partial y^{n}}=\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left(\varphi^{n}(z) \frac{\partial u}{\partial x}\right)$ 。

4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle n$ 次齐次方程，即 $\displaystyle \forall t>0, f(t x, t y)=t^{n} f(x, y)$ ，且 $\displaystyle f$ 可微．证明在 $\displaystyle (x, y) \neq(0,0)$处有 $\displaystyle x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f(x, y)$ 。四川大学 2002，天津大学 2002，北京交大 2000）
（2）若 $\displaystyle f\left(t x_{1}, t x_{2}, \cdots, t x_{n}\right)=t^{k} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \forall t>0$ ，称 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为 $\displaystyle k$ 齐次的。证明：可微函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为 $\displaystyle k$ 齐次的 ⇔ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=k f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 上的 $\displaystyle n$ 次齐次函数：对 $\displaystyle \forall t>0, f(t x, t y, t z)=t^{n} f(x, y, z)$ ，且具有一阶连续偏导数，$\displaystyle f_{z}^{\prime}(x, y, z) \neq 0$ ．若方程 $\displaystyle f(x, y, z)=0$ 确定了可微的隐函数 $\displaystyle z=g(x, y)$ ，证明：$\displaystyle z=g(x, y)$ 必为一次齐次函数．

5．设 $\displaystyle F(u, v)$ 是具有连续偏导数的二元函数．
（1）验证 $\displaystyle w=F(x y, y z)$ 满足 $\displaystyle x \frac{\partial w}{\partial x}+z \frac{\partial w}{\partial z}=y \frac{\partial w}{\partial y}$ ，这时 $\displaystyle F(x y, y z)$ 称为以上偏微分方程的完全积分．
（2）利用猜试法求以下偏微分方程的完全积分：$\displaystyle x_{1} \frac{\partial w}{\partial x_{1}}+\cdots+x_{m} \frac{\partial w}{\partial x_{m}}=y \frac{\partial w}{\partial y}$ ．

6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle u=v(x, y)$ 有连续一阶偏导数，$\displaystyle u(x, y)=x v+y \varphi(v)+\psi(v)$ ，其中 $\displaystyle \varphi, \psi$ 可微，且 $\displaystyle x+y \varphi^{\prime}(v)+\psi^{\prime}(v)=0$ 。证明：$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle \varphi$ 和 $\displaystyle \psi$ 二次可微，证明：函数 $\displaystyle u(t, x)=\varphi(x-a t)+\psi(x+a t)$ 满足弦振动方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ．

7．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle u(x, y)$ 有二阶连续偏导数，证明：$\displaystyle u$ 满足微分方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 的充要条件为存在二阶连续可微函数 $\displaystyle \varphi(t), \psi(t)$ 使得 $\displaystyle u(x, y)=x \varphi(x+y)+y \psi(x+y)($ 北京大学 2002 ，沈阳 工 大 2009 ，徐州师大 2007 ，浙江师大 2005 ）
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 有二阶连续偏导数，且恒取正值，证明：$\displaystyle u$ 满足微分方程 $\displaystyle u \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}$ 的充要条件为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 有一阶连续偏导数，证明 $\displaystyle f$ 满足微分方程 $\displaystyle \frac{1}{a} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{b} \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{c} \frac{\partial f}{\partial z}$ 的充要条件为存在 $\displaystyle g(u) \in C^{1}(R)$ 使得 $\displaystyle f(x, y, z)=g(a x+b y+c z)$ ．

8．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F(x-z, y-z)=0$ 所确定的隐函数，其中 $\displaystyle F$ 具有连续二阶偏导数，证明：$\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle F(u, v)$ 有连续的二阶偏导数，求证：由方程 $\displaystyle F\left(\frac{x-x_{0}}{z-z_{0}}, \frac{y-y_{0}}{z-z_{0}}\right)=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足下列两个方程：$\displaystyle \left(x-x_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial y}=z-z_{0}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．

9．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(u, v)$ 有二阶连续偏导数且满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=0$ 。试证：$\displaystyle z=f\left(x^{2}-y^{2}, 2 x y\right)$ 也满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(u, v)$ 有二阶连续偏导数且满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=0$ ．试证：$\displaystyle z=f\left(x^{2}+y^{2}, 2 x y\right)$ 也满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．
（3）设函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ 二阶连续可微，$\displaystyle x=\mathrm{e}^{s} \cos t, y=\mathrm{e}^{s} \sin t$ ，若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ ．

10．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x=f(u, v), y=g(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，并满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial v}, \frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{\partial g}{\partial u}$ ，设 $\displaystyle \omega=\omega(x, y)$ ，证明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} u}+\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} v}=\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} y}\right)\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}\right]$ ．
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足 $\displaystyle \Delta z \equiv \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 。作满足 $\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial s}=\frac{\partial \psi}{\partial t}, \frac{\partial \varphi}{\partial t}=-\frac{\partial \psi}{\partial s}$ 的变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\varphi(s, t) \text { ，证 } \\ y=\psi(s, t),\end{array}\right.$明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=0$ ．
（3）给定积分 $\displaystyle I=\iint_{D}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，作正则变换 $\displaystyle x=x(u, v), y=y(u, v)$ ，区域 $\displaystyle D$ 变成 $\displaystyle \Omega$ 。如果变换满足 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u}$ ．试证 $\displaystyle I=\iint_{\Omega}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}\right] \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ．

11．通过变量代换变换方程．
（1）令 $\displaystyle x=u v, y=\frac{1}{2}\left(u^{2}-v^{2}\right)$ ，变换方程 $\displaystyle \left(z_{x}\right)^{2}+\left(z_{y}\right)^{2}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle u=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}, v=\arctan \frac{x}{y}$ ，化简方程 $\displaystyle (x+y) z_{x}-(x-y) z_{y}=0$ ．
（3）通过变换 $\displaystyle u=x y, v=\frac{x}{y}$ 将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x x}-y^{2} z_{y y}=0$ 变换为以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量的方程．

12．设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 二阶连续可微，对微分方程 $\displaystyle \frac{1}{(x+y)^{2}}\left(z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}\right)-\frac{1}{(x+y)^{3}}\left(z_{x}+z_{y}\right)=0$ 作变量代换 $\displaystyle u=x y, v=x-y$ 。（1）求代换后的方程；（2）指出变量代换失效的点集，并指出失效的理由，代换在失效点集上会产生什么现象。

13．通过变量代换变换方程．
（1）取 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 作新的自变量，变换方程 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle \xi=x, \eta=x^{2}+y^{2}$ 化简方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=0$ ，并求出这个方程的通解 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 在平面 $\displaystyle \mathrm{R}^{2}$ 上有连续的一阶偏导数．$\displaystyle w=w(u, v)$ 是由方程组 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=\mathrm{e}^{w+x+y}$ 所确定的隐函数。将方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=(y-x) z,(x \neq y)$ 化为 $\displaystyle w_{u}, w_{v}$ 所满足的一个关系式．
（4）将方程 $\displaystyle x u_{y}-y u_{x}=0$ 变为以极坐标 $\displaystyle r, \theta$ 为自变量的形式，其中 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ， $\displaystyle (r \neq 0)$ ．

14．通过变量代换变换方程．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为可微函数，试将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 变换成 $\displaystyle w(u, v)$ 的方程，假设 $\displaystyle x=u$ ， $\displaystyle y=\frac{u}{1+u v}, z=\frac{u}{1+u w}$.
（2）设 $\displaystyle u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}, w=\frac{1}{z}$ ，以 $\displaystyle w$ 为新函数，$\displaystyle u, v$ 为新自变量，试变换方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 。

15．通过变量代换变换方程．
（1）在极坐标变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ 下变换方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=f(x, y)$ ．
（2）将直角坐标系下的 Laplace 方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=0$ 化为极坐标系下的形式．

16．通过变量代换变换下列方程．
（1）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足方程 $\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 。利用变换 $\displaystyle u=x+y$ ， $\displaystyle v=x-y, w=x y-z(x, y)$ ，证明：$\displaystyle w=w(u, v)$ 满足偏导数方程 $\displaystyle 2 w_{u u}=1$ ，并确定 $\displaystyle w=w(u, v)$ 的表达式．
（2）设 $\displaystyle u=\frac{x+y}{2}, v=\frac{x-y}{2}, w=z \mathrm{e}^{y}$ ，取 $\displaystyle u, v$ 为新的变量以及 $\displaystyle w(u, v)$ 为新函数，变换方程 $\displaystyle z_{x x}+z_{x y}+z_{x}=z$ ．
（3）设 $\displaystyle u=x, v=x+y, w=x+y+z$ ，以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，$\displaystyle w=w(u, v)$ 为新函数，把方程 $\displaystyle z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 变换为 $\displaystyle w_{u u}=0$ 。

17．用 $\displaystyle u=x+y, v=\frac{x}{y}, w=\frac{z}{x}$ ，变换方程 $\displaystyle z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ，其中 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，$\displaystyle w$ 为新的因变量．

18．通过变量代换变换方程．
（1）证明：在变换 $\displaystyle u=\frac{x}{y}, v=x, w=x z-y$ 之下，方程 $\displaystyle y z_{y y}+2 z_{y}=\frac{2}{x}$ 可变成 $\displaystyle w_{u u}=0$ 。
（2）设 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=y$ ，证明：等式 $\displaystyle x^{2} f_{x x}-2 x y f_{x y}+y^{2} f_{y y}=0$ 可简化为 $\displaystyle f_{v v}=0$ 。

19．已知函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle \left(1-x^{2}\right) z_{x x}+\left(1-y^{2}\right) z_{x y}=x z_{x}+y z_{y}$ ，试利用 $\displaystyle x=\sin \xi$ ， $\displaystyle y=\sin \eta, z=\mathrm{e}^{u}$ 把方程变成新函数 $\displaystyle u=u(\xi, \eta)$ 所满足的方程．

20．设 $\displaystyle f(x, y)$ 有二阶连续的偏导数，$\displaystyle \theta$ 为常数，令 $\displaystyle x=u \cos \theta-v \sin \theta, y=u \sin \theta+v \cos \theta$ ，则 $\displaystyle \left(f_{x}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2}=\left(f_{u}\right)^{2}+\left(f_{v}\right)^{2}, \quad f_{x x}+f_{y y}=f_{u u}+f_{v v}$.

21．变换方程．
（1）设 $\displaystyle u=x-2 \sqrt{y}, v=x+2 \sqrt{y}$ ，以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量变换方程 $\displaystyle z_{x x}-y z_{y y}=\frac{1}{2} z_{y}(y>0)$ ，并求解该方程．
（2）证明线性变换 $\displaystyle \xi=x-y, \eta=x-\frac{1}{3} y$ 将方程 $\displaystyle z_{x x}+4 z_{x y}+3 z_{y y}=0$ 化为方程 $\displaystyle z_{\xi \eta}=0$ 。

22．变换方程．
（1）设变换 $\displaystyle u=x-2 y, v=x+a y$ 把方程 $\displaystyle 6 z_{x x}+z_{x y}-z_{y y}=0$ 简化为 $\displaystyle z_{u v}=0$ ，试求常数 $\displaystyle a$ ．
（2）设变换 $\displaystyle u=x+2 y, v=x+a y$ 把方程 $\displaystyle 2 z_{x x}+z_{x y}-z_{y y}=0$ 简化为 $\displaystyle z_{u v}=0$ ，试求常数 $\displaystyle a$ ．
（3）设变换 $\displaystyle \xi=x+\lambda y, \eta=x-2 y(\lambda \neq-2)$ 把方程 $\displaystyle 14 z_{x x}+5 z_{x y}-z_{y y}=0$ 简化为 $\displaystyle z_{\xi \eta}=0$ ，试求常数 $\displaystyle \lambda$ ，并由此求出偏微分方程的解．
（4）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，证明存在常数 $\displaystyle a, b$ 使得变换 $\displaystyle u=x+a y, v=x+b y$ 可将微分方程 $\displaystyle z_{x x}+4 z_{x y}+3 z_{y y}=0$ 化为 $\displaystyle z_{u v}=0$ ．
（5）已知变换 $\displaystyle \xi=x+a y, \eta=x+b y$ ，试将方程 $\displaystyle 2 z_{x x}-3 z_{x y}+z_{y y}=0$ 化为 $\displaystyle z_{\xi \eta}=0$ ，求 $\displaystyle a, b$ 的值．
（6）设函数 $\displaystyle u(x, t)$ 有二阶连续偏导数，作自变量变换 $\displaystyle \xi=x+a t, \eta=x-a t$ 后函数变为 $\displaystyle u(\xi, \eta)$ ，问方程 $\displaystyle u_{t t}=a^{2} u_{x x}$ 变为什么形式？并求此方程的通解．

23．设常数 $\displaystyle a, b, c$ 满足 $\displaystyle a c-b^{2}<0$ ，且线性变换 $\displaystyle \xi=x+\lambda_{1} y, \eta=x+\lambda_{2} y$ 把方程 $\displaystyle a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=0$ 变换为方程 $\displaystyle u_{\xi \eta}=0$ 。证明：（1）$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 为方程 $\displaystyle c \lambda^{2}+2 b \lambda+a=0$ 的两个不同实根，并求 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的值；（2）求满足 $\displaystyle a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=0$ 的一切函数．

24．变换方程．
（1）设 $\displaystyle u(x, y)$ 满足 $\displaystyle u_{x x}-u_{y y}+2\left(u_{x}+u_{y}\right)=0$ 。用 $\displaystyle u=v(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ 变换方程，确定 $\displaystyle \alpha, \beta$ 使方程不含一阶导数项．
（2）设 $\displaystyle z=u(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ ，其中 $\displaystyle u(x, y)$ 满足 $\displaystyle u_{x y}=0$ ，确定 $\displaystyle \alpha, \beta$ 使下述等式成立：

$$
z_{x y}-z_{x}-z_{y}+z=0 \text {. }
$$

25．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, l]$ 上连续，且当 $\displaystyle 0 \leqslant \xi \leqslant l$ 时，$\displaystyle (x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0$ ，则函数 $\displaystyle u(x, y, z)=\int_{0}^{1} \frac{f(\xi)}{\sqrt{(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} \xi$ 满足 Laplace 方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0$ ．