📝 大连理工大学 2025年数学分析真题

1、在点 $(0,0)$ 的邻域内，将下列函数按带皮亚诺型余项展开成泰勒公式到二阶：

$$
f(x, y)=\frac{\cos x}{\cos y}
$$

2、设 $\varphi(x)=\int_{\sin x}^{\cos x} e^{t^{2}+x t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\varphi^{\prime}(0)$ ．

3．求证：黎曼 $\zeta$ 函数 $\displaystyle \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 具有如下性质：
（1）在 $x>1$ 上连续．
（2）在 $x>1$ 上连续可微．

4、证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(\sqrt[n]{n}-1)$ 条件收玫。

5、（1）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n+p}-a_{n}\right| \leq \frac{p}{n}$ ，且对一切 $n, p \in \mathbb{N}_{+}$成立，问数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛？
（2）当 $\displaystyle \left|a_{n+p}-a_{n}\right| \leq \frac{p}{n^{2}}$ 时，上述结论又如何？

6、当 $x \in(0, \pi)$ 时，证明： $4(1-\cos x)<x(x+\sin x)$ ．

7、极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=A$ 的充要条件是对 $\forall \varepsilon \geq 0$ ，存在正整数 $N$ ，当 $n>N$时，有 $\left|a_{n}-A\right| \leq \varepsilon$ 是否正确？

8、 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f(a)=f(b)=0$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=2025 f(\xi)$ ．

9、函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，以 $T>0$ 为周期， $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=0, ~ g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调， $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$ ，证明：广义积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫．

10、证明：函数 $f(x)=x \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续．

1、 $\Gamma: y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ ，从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ ，求第二型曲线积分

$$
I=\int_{\Gamma}\left(e^{x} \sin y-4 y\right) \mathrm{d} x+\left(e^{x} \cos y+4 x\right) \mathrm{d} y
$$

2、求三重积分 $I=\iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \left(z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中

$$
V=\left\{(x, y, z): \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 3\right\}
$$

3、求 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}-e^{-3 x}}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．

1、设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续且有界，证明：$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n \int_{0}^{1} f(x+t) e^{-n t} \mathrm{~d} t}{1-e^{-n}}$一致收敛于 $f(x)$ ．

2、数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0$ ，记 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, x \in(-1,1)$收敛，证明： $\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(1-x) f(x)=0$ ．

3、证明：在 $(0,0)$ 的邻域内方程 $x-\cos \left(x^{2} y\right)+e^{x+y^{2}}=0$ 决定连续可微函数 $x=x(y)$ ，并证明在 $y=0$ 处取得极大值．

4、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续非负，且对任意的 $x, y \geq 0$ ，有

$$
f(x+y) \leq f(x)+f(y)
$$

证明：极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$ 存在且有限．

5、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，记 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t,(x \geq 0)$ ，证明： $F(x)$ 在 $x=0$ 处存在右导数，并求 $F_{+}^{\prime}(0)$ ．

三、证明题．（每题 12 分，共 60 分）

二、计算题．（每题 10 分，共 30 分）