📝 安徽大学 2026年高等代数真题

1．设 $f(x)=x^{3}+(t+1) x^{2}+2 x-4$ 与 $g(x)=x^{3}+t x^{2}-2$ 的最大公因式为一个二次多项式，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设 $A, B$ 都为可逆方阵，则 $\left(\begin{array}{ll}A & C \\ O & B\end{array}\right)^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．设 $A$ 是三阶矩阵，已知 $|A+I|=0,|A+2 I|=0,|A+3 I|=0$ ，则 $|A+4 I|=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，满足等式 $A^{2}=2025 A+2026 I$ ，其中 $I$ 为 $n$ 阶单位矩阵．则有秩 $(A-2026 I)+$秩 $(A+I)=$ $\_\_\_\_$。

5．已知列向量组 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 是方阵 $\left(\begin{array}{ccc}-b & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的特征向量，则 $4 a-3 b=$ $\_\_\_\_$ ．

6．（可能有误）设矩阵 $A$ 的初等因子为 $\lambda, \lambda, \lambda^{3},(\lambda-1)^{2}, \lambda-2,(\lambda-2)^{2}$ ，且 $A$ 的秩为 4 ，则 $A$ 的所有不变因子为 $\_\_\_\_$ ．

7．设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，则 $V$ 能表示成它的 2 个真子空间的并．

8．设 $A$ 为非零实方阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $A^{\mathrm{T}}=A^{*}$ ，则 $A$ 可逆．

9．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A-2 B=3 A B$ ，则 $A B=B A$ ．

10．设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实矩阵，且满足
（1） $0 \leq a_{i j} \leq 1, i, j=1,2, \cdots, n$ ．
（2）$a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1, i=1,2, \cdots, n$ ．
则对于每一个特征值 $\lambda$ ，都有 $|\lambda| \leq 1$ ．

11．计算下列 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
x & 2025 & 2025 & \cdots & 2025 \\
\frac{1}{225} & x & 3 & \cdots & 3 \\
\frac{1}{225} & 3 & x & \cdots & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\frac{1}{225} & 3 & 3 & \cdots & x
\end{array}\right| .
$$

12．设 $f(x)=x^{2}+2 x+3, g(x)=x^{3}-2$ ．
（1）求多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $(f(x), g(x))=u(x) f(x)+v(x) g(x)$ ．
（2）将分数 $\displaystyle \frac{1}{3+2 \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$ 的分子分母乘以适当根式将分母有理化．

13．设二次型

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+5 x_{2}^{2}-8 x_{2} x_{3}+5 x_{3}^{2}
$$

利用正交变换将二次型化为标准形．

14．设 $A$ 是秩为 3 的 4 阶矩阵，且存在正整数 $k$ 使得 $A^{k}=O$ ，分别求 $A$ 与 $A^{2}$ 的 Jordan 标准型．

15．设 $V$ 为数域 $F$ 上次数小于 $n$ 的全体多项式与零多项式构成的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换

$$
\mathscr{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x), f(x) \in V .
$$

16．设 $A, B$ 均为正交矩阵，且 $|A|+|B|=0$ ，证明：$|A+B|=0$ ．

17．已知 $A, B$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $B$ 是半正定矩阵，证明：若 $A B^{3}=B^{3} A$ ，则 $A B=B A$ ．

18．设 $\mathscr{A}$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂零线性变换，即存在正整数 $k$ ，使得 $\mathscr{A}^{k}=\mathscr{O}$ ，证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\mathscr{B}$ ，使得 $\mathscr{B}^{2}=\mathscr{I}+\mathscr{A}$ ，其中 $\mathscr{I}$ 为恒等变换。

19．设 $\alpha$ 是 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个非零向量，向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足
（1）$\left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0,1 \leq i \leq n$ ．
（2）$\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0, i, j=1,2, \cdots, n ; i \neq j$ ．
证明：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关。

20．已知 $A$ 为实对称正定矩阵，$\lambda$ 为实数，$b$ 为非零实向量，设线性方程组 $(A+\lambda I) X=b$ 的解为 $X=X(\lambda)$ ，证明 $f(\lambda)=\|X(\lambda)\|$ 是 $[0,+\infty)$ 上的严格递减函数，这里 $\|X\|$ 表示向量 $X$ 的长度。