原函数与不定积分的概念

### 第106题 若函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2$ ，且 $f(x, 1)=x+2$ ，又 $f_{y}^{\prime}(x, 1)=x+1$ ，则 $f(x$ ， y）＝ （A）$y^{2}+(x-1) y-2$ ． （B）$y^{2}+(x+1) y+2$ ． （C）$y^{2}+(x-1) y+2$ ． （D）$y^{2}+(x+1) y-2$ ． ## 更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取 更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取

### 第109题 设 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y=$ （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-2}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{-2}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} f(r, \theta) \mathrm{d} r$ ．

### 第110题 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2 \sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． 建设容题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}

### 第111题 若已知 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{\pi}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\pi} x f(\sin y) \mathrm{d} y=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ． （C）$\displaystyle \frac{4}{\pi^{2}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{4}$ ．

### 第113题 设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数），过第二象限内的点 $M$ 和第四象限内的点 $N . T$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是 （A） $\int_{T} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （B） $\int_{T} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{T} f(x, y) \mathrm{d} s$ ． （D） $\int_{T} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ． 伻估

### 第117题 设空间区域 $\Omega$ 由曲面 $z=a^{2}-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $z=0$ 所围成，其中 $a$ 为正常数．记 $\Omega$表面的外侧为 $\Sigma, \Omega$ 的体积为 $V$ ，则 $\oiint_{\Sigma} x^{2} y z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x y^{2} z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z(1+x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A）0． （B）$\displaystyle \frac{V}{2}$ ． （C）$V$ ． （D） $2 V$ ．

### 第118题 设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则 （A） $\iiint_{\Omega_{1}} x^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x^{3} \mathrm{~d} v$ ． （B） $\iiint_{\Omega_{1}} y^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y^{3} \mathrm{~d} v$ ． （C） $\iiint_{\Omega_{1}} z^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z^{3} \mathrm{~d} v$ ． （D） $\iiint_{\Omega_{1}} x^{3} y^{3} z^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x^{3} y^{3} z^{3} \mathrm{~d} v$ ．

### 第145题 设 $R=R(x)$ 是抛物线 $y=\sqrt{x}$ 上任一点 $M(x, y)(x \geqslant 1)$ 处的曲率半径，$S=S(x)$是该抛物线上点 $A(1,1)$ 与点 $M$ 之间的弧长，求 $\displaystyle 3 R \frac{\mathrm{~d}^{2} R}{\mathrm{~d} S^{2}}-\left(\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} S}\right)^{2}$ ．

### 第146题 设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0)=1, f(1)=a$ ． （1）求使得 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得最大值的 $f(x)$ 的表达式． （2）将 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得的最大值记为 $g(a)$ ，当 $a$ 为何值时，$g(a)$ 取得最大值？并求出该最大值．

### 第15题 设 $x=2 \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-s^{2}} \mathrm{~d} s, y=\int_{0}^{t} \sin (t-s)^{2} \mathrm{~d} s$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=\sqrt{\pi}}=$ $\_\_\_\_$。

### 第160题 求积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1}^{y}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{x} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．

### 第163题 计算积分 $\displaystyle I=\int_{C} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $C$ 为上半椭圆 $\displaystyle y=b \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}$ 从 $A(-a, 0)$ 到 $B(a, 0)$ ．

### 第176题 设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}$ ．若由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=1, x= t(t>1)$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体体积为 $\displaystyle V(t)=\frac{\pi}{3}\left[t^{2} f(t)-\right. f(1)]$ ，求 $f(x)(x \geqslant 1)$ ． 建放荅题时门

### 第178题 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，其反函数为 $g(x)$ ，并设 $$ $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x},$ $$ 求 $f(x)$ ． 建议荅题时问

### 第179题 求当 $x \geqslant 0$ 时的 $f(x)$ ，设当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x)$ 有一阶连续导数，并且满足 $$ f(x)=-1+x+2 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t . $$

### 第19题 $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1-x^{2}\right)}{2 x^{2} \sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第20题 已知 $y^{\prime}(x)=\cos (1-x)^{2}$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $\int_{0}^{1} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第21题 $\int_{0}^{2 \pi}\left|\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right| \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第22题 I=$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)\left(1+x^{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第23题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ \ln x, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$。