定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）

### 第190题 设 $n, m$ 为非负整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是 （A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ． （B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． （C）反常积分且发散． （D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． ## －纠错笔记

## 第190题 (高等数学 - 选择题) 设 $n, m$ 为非负整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是 （A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ． （B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． （C）反常积分且发散． （D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． ## －纠错笔记

### 第199题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上 （A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数． （B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数． （C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数． （D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．

## 第199题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上 （A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数． （B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数． （C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数． （D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．

### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 服从 $[-\pi, \pi]$ 上的均匀分布，记 $Y_{k}= \cos \left(k X_{k}\right), k=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}^{2}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第20题（填空题） 20．设 $a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x(n=0,1,2, \cdots)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n-2}}\right)^{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第202题 下列反常积分发散的是 （A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

## 第202题 (高等数学 - 选择题) 下列反常积分发散的是 （A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

### 第203题 下列四个反常积分 （1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ． 中，收敛的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

## 第203题 (高等数学 - 选择题) 下列四个反常积分 （1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ． 中，收敛的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第204题 设有下列命题 （1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。 （3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。 （4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ． ## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）

## 第204题 (高等数学 - 选择题) 设有下列命题 （1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。 （3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。 （4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ． ## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）

### 【强化篇】第21题（解答题） 21．设函数 $f(x)=\int_{0}^{1}\left|t^{2}-x^{2}\right| \mathrm{d} t(x>0)$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的最小值．

### 【基础篇】第22题（填空题） 22．设 $F(x)=\int_{0}^{x}(t-[t]) \mathrm{d} t$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $F_{-}^{\prime}(1)-F_{+}^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $$ f(x, y)= \begin{cases}a x^{2} y, & x^{2} \leqslant y \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$ （1）求 $a$ 的值； （2）求 $Z=X^{2} Y$ 的概率密度； （3）求 $\displaystyle E\left(Y \left\lvert\, X=\frac{1}{2}\right.\right)$ 。 ## 第7章 大数定律与中心极限定理

### 【基础篇】第23题（选择题） 23．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$ ，且 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=a$ ，则 $a$ 等于（ ）。 ）． （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D）-1

### 【强化篇】第23题（填空题） 23．设 $y=f(x)=x \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{-(x)^{2}} \mathrm{~d} t+x^{2}$ ，其在 $x=0$ 的某邻域内与 $x=g(y)$ 互为反函数，则 $g^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第24题（选择题） 24．设 $\displaystyle f(x-5)=\frac{4}{x^{2}-10 x}$ ，则 $\int_{0}^{4} f(2 x+1) \mathrm{d} x(\quad)$ 。 （A）为反常积分，且发散 （B）为反常积分，且收敛 （C）不是反常积分，且其值为 10 （D）不是反常积分，且其值为 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$

### 【强化篇】第26题（选择题） 26．当 $x \rightarrow 0$ 时，以下无穷小中，阶数最高的是 ）． （A） $\displaystyle \int_{0}^{\sin x}(1+t)^{\frac{2}{t}} \mathrm{~d} t$ （B） $\int_{0}^{\ln \left(1+x^{2}\right)} \sqrt{\cos ^{3} t} \mathrm{~d} t$ （C） $\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{\sin t}\right) \mathrm{d} t$ （D） $\int_{0}^{x-\tan x} \arctan t \mathrm{~d} t$

### 【强化篇】第26题（选择题） 26．反常积分 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{~d} x()$ 。 （A）取值为正 （B）取值为负 （C）取值为 0 （D）发散