定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）

## 第643题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 有连续的导数，$f(0)=0$ ，区域 $\Omega$ 由柱面 $x^{2}+y^{2}=t^{2}(t>0)$ 和两平面 $z= 0, z=1$ 所围成，则 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ 等于 （A）$\pi f^{\prime}(0)$ ． （B）$\pi f(0)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f(0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f^{\prime}(0)$ ．

### 第68题 I=$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

## 第68题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第69题 $$ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $$ $\_\_\_\_$ ． □

## 第69题 (高等数学 - 填空题) $$ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $$ $\_\_\_\_$ ． □

### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $f(x), g(x)$ 在点 $x=0$ 的某邻域内连续，且当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 为等价无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_{0}^{x} f(t)(1-\cos t) \mathrm{d} t$ 是 $\int_{0}^{x} t^{2} g(t) \mathrm{d} t$ 的 ）． （A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小

### 【强化篇】第7题（选择题） 7．议 $f(x)=\int_{0}^{|\sin x|} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_{0}^{|x|} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，则在 $(-\pi, \pi)$ 内（ ）、 （A）$f(x)$ 是可导的奇函数 （B）$g(x)$ 是可导的偶函数 （C）$f(x)$ 是奇函数且 $f^{\prime}(0)$ 不存在 （D）$g(x)$ 是偶雨数且 $g^{\prime}(0)$ 不存在

### 【基础篇】第7题（解答题） 7．设函数 $y=y(x)$ 满足 $(1-x) y^{\prime}+2 y=0, y(0)=1, a_{n}(x)=\int_{0}^{x} y(t) \sin ^{n} t \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots$ ． （1）求 $y(x)$ 的表达式； （2）证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$（1）收敛。

## 第74题 (高等数学 - 填空题) 在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$（单位： m ），则当液面过点 $(0, y)(-1 \leqslant y \leqslant 1)$ 处水平线时，容器内液体的体积是 $\_\_\_\_$ ，当容器内储满了液体后，以 $0.16 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至 $y=0$ 时，液面下降的速度为 $\_\_\_\_$ ，如果 液体的密度为 $1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，抽出全部液体所做的功为 $\_\_\_\_$。

### 第77题 设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程 $$ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) $$ 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

## 第77题 (高等数学 - 填空题) 设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程 $$ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) $$ 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第8题（选择题） 8．当 $x \rightarrow 0$ 时，$a \int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ 与 $\sin x-b \ln (1+x)$ 是等价无穷小，则 $(a, b)=$ ． （A）$(1,2)$ （B）$(-1,2)$ （C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ （D）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $f(t)=\int_{0}^{1} t|t-x| \mathrm{d} x$ ，求 $\int_{-1}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ．

### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t^{2}}-\mathrm{e}^{t}\right) \mathrm{d} t$ 与 $a x^{b}$ 是等价无穷小量，则 $(a, b)=$ ． （A）$\displaystyle \left(-\frac{1}{6}, 3\right)$ （B）$\displaystyle \left(-\frac{1}{24}, 4\right)$ （C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 5\right)$ （D）$\displaystyle \left(-\frac{1}{12}, 6\right)$

### 【基础篇】第9题（填空题） 9．已知函数 $f$ 是 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{o}^{r^{r}}} \frac{1}{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ 的反函数，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设常数 $m>0, n>0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{n} \sqrt{x}\left[\frac{m}{x}\right] \mathrm{d} x$（ $[\cdot]$ 是取整符号）的敛散性 ． （A）仅与 $m$ 有关 （B）仅与 $n$ 有关 （C）与 $m, n$ 均有关 （D）与 $m, n$ 均无关

### 【基础篇】第9题（填空题） 9．设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x+1)-f(x)=x \ln x, \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设总休 $X$ 的概率密原为 $$ f(x ; \alpha, \beta)= \begin{cases}\frac{\alpha \beta^{a}}{x^{a+1}}, & x \geqslant \beta, \\ 0, & x<\beta,\end{cases} $$ $a, \beta$ 均大于 $0, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为总体 $X$ 的简单随机样本． （1）求 $a, \beta$ 的最大似然估计皕 $\alpha, \beta$ ； （2）对任煎的 $\varepsilon>0$ ，是否存在常数 $a$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow-\infty} P\{|\hat{\beta}-a| \geqslant \varepsilon\}=0$ ？ （3）求 $E\left(\ln X_{1}\right)$ 。

## 第97题 (高等数学 - 填空题) 设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ． ## O
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